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01复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 iz=1\mathrm{i} z = 1，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =（ ）
A.
−i-\mathrm{i}
B.
i\mathrm{i}
C.
−1-1
D.
11

2011 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={(x,y)∣x,yA = \{(x, y) | x, y 为实数，且 x2+y2=1}x^2 + y^2 = 1\}，B={(x,y)∣x,yB = \{(x, y) | x, y 为实数，且 x+y=1}x + y = 1\}，则 A∩BA \cap B 的元素个数为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2011 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(1,0)\boldsymbol{b} = (1, 0)，c=(3,4)\boldsymbol{c} = (3, 4). 若 λ\lambda 为实数，(a+λb)∥c(\boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{b}) \parallel \boldsymbol{c}，则 λ=\lambda =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2011 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=11−x+lg⁡(1+x)f(x) = \frac{1}{1 - x} + \lg (1 + x) 的定义域是（ ）
A.
(−∞,−1)(-\infty, -1)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(−1,1)∪(1,+∞)(-1,1)\cup (1, + \infty)
D.
(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

2011 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★☆☆☆☆
不等式 2x2−x−1>02x^{2} - x - 1 > 0 的解集是（ ）
A.
(−12,1)\left(-\frac{1}{2},1\right)
B.
(1,+∞)(1, + \infty)
C.
(−∞,1)∪(2,+∞)(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)
D.
(−∞,−12)∪(1,+∞)\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)

2011 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
已知平面直角坐标系 xOyxOy 上的区域 DD 由不等式组
{0⩽x⩽2,y⩽2,x⩽2y\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2},\\ y \leqslant 2,\\ x \leqslant \sqrt{2}y \end{cases}
给定. 若 M(x,y)M(x, y) 为 DD 上的动点，点 AA 的坐标为 (2,1)(\sqrt{2}, 1)，则 z=OM→⋅OA→z = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA} 的最大值为（ ）
A.
33
B.
44
C.
323\sqrt{2}
D.
424\sqrt{2}

2011 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A.
2020
B.
1515
C.
1212
D.
1010

2011 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
设圆 CC 与圆 x2+(y−3)2=1x^{2}+(y-3)^{2}=1 外切，且与直线 y=0y=0 相切，则 CC 的圆心轨迹为（ ）
A.
抛物线
B.
双曲线
C.
椭圆
D.
圆

2011 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
如图，某几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）
A.
434\sqrt{3}
B.
44
C.
232 \sqrt{3}
D.
22

2011 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是 R\mathbf{R} 上的任意实值函数. 如下定义两个函数 (f∘g)(x)(f \circ g)(x) 和 (f∙g)(x)(f \bullet g)(x)：对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))；(f∙g)(x)=f(x)g(x)(f \bullet g)(x) = f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是（ ）
A.
((f∘g)∙h)(x)=((f∙h)∘(g∙h))(x)\big((f\circ g)\bullet h\big)(x) = \big((f\bullet h)\circ (g\bullet h)\big)(x)
B.
((f∙g)∘h)(x)=((f∘h)∙(g∘h))(x)\big((f\bullet g)\circ h\big)(x) = \big((f\circ h)\bullet (g\circ h)\big)(x)
C.
((f∘g)∘h)(x)=((f∘h)∘(g∘h))(x)\big((f\circ g)\circ h\big)(x) = \big((f\circ h)\circ (g\circ h)\big)(x)
D.
((f∙g)∙h)(x)=((f∙h)∙(g∙h))(x)\big((f\bullet g)\bullet h\big)(x) = \big((f\bullet h)\bullet (g\bullet h)\big)(x)

2011 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a2=2a_{2} = 2，a4−a3=4a_{4} - a_{3} = 4. 则此数列的公比 q=q =______.

2011 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3cos⁡x+1f(x) = x^{3}\cos x + 1. 若 f(a)=11f(a) = 11，则 f(−a)=f(-a) =______.

2011 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系. 下表记录了小李某月 11 号到 55 号每天打篮球时间 xx（单位：小时）与当天投篮命中率 yy 之间的关系：
时间 xx1122334455
小李这 55 天的平均投篮命中率为______；用线性回归分析的方法，预测小李该月 66 号打 66 小时篮球的投篮命中率为______.

2011 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
已知两曲线参数方程分别为
{x=5cos⁡θ,y=sin⁡θ,\begin{cases} x = \sqrt{5} \cos \theta,\\ y = \sin \theta, \end{cases}
（0⩽θ<π0 \leqslant \theta < \pi）和
{x=54t2,y=t,\begin{cases} x = \frac{5}{4} t^2,\\ y = t, \end{cases}
（t∈Rt \in \mathbf{R}），它们的交点坐标为______.

2011 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，在梯形 ABCDABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，AB=4AB = 4，CD=2CD = 2，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 上的点，且 EF=3EF = 3，EF∥ABEF \parallel AB，则梯形 ABFEABFE 与梯形 EFCDEFCD 的面积比为______.

2011 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡(13x−π6)f(x) = 2\sin \left(\frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(0)f(0) 的值； (2) 设 α\alpha，β∈[0,π2]\beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]，f(3α+π2)=1013f\left(3\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{10}{13}，f(3β+2π)=65f(3\beta + 2\pi) = \frac{6}{5}，求 sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta) 的值.

2011 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在某次测验中，有 66 位同学的平均成绩为 7575 分. 用 xnx_{n} 表示编号为 nn （n=1n = 1，22，⋯\cdots，66）的同学所得成绩，且前 55 位同学的成绩如下：
编号 nn1122334455
(1) 求第 66 位同学的成绩 x6x_6，及这 66 位同学成绩的标准差 ss； (2) 从前 55 位同学中，随机地选 22 位同学，求恰有 11 位同学成绩在区间 (68,75)(68, 75) 中的概率.

2011 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图所示的几何体是将高为 22、底面半径为 11 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. AA，A′A'，BB，B′B' 分别为 \myarcCD\myarc{CD}，\myarcC′D′\myarc{C'D'}，\myarcDE\myarc{DE}，\myarcD′E′\myarc{D'E'} 的中点，O1O_1，O1′O_1'，O2O_2，O2′O_2' 分别为 CDCD，C′D′C'D'，DEDE，D′E′D'E' 的中点.
(1) 证明：O1′O_{1}^{\prime}，A′A^{\prime}，O2O_{2}，BB 四点共面； (2) 设 GG 为 A′AA^{\prime}A 的中点，延长 A′O1′A^{\prime}O_{1}^{\prime} 到 H′H^{\prime}，使得 O1′H′=A′O1′O_{1}^{\prime}H^{\prime}=A^{\prime}O_{1}^{\prime}，证明：BO2′⊥BO_{2}^{\prime}\perp 平面 H′B′GH^{\prime}B^{\prime}G.

2011 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 a>0a > 0，讨论函数 f(x)=ln⁡x+a(1−a)x2−2(1−a)xf(x) = \ln x + a(1 - a)x^2 - 2(1 - a)x 的单调性.

2011 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+n−1a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数 nn，2an⩽bn+1+12a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1.

2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 l:x=−2l: x = -2 交 xx 轴于点 AA. 设 PP 是 ll 上一点，MM 是线段 OPOP 的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP\angle MPO = \angle AOP.
(1) 当点 PP 在 ll 上运动时，求点 MM 的轨迹 EE 的方程； (2) 已知 T(1,−1)T(1,-1)，设 HH 是 EE 上动点，求 ∣HO∣+∣HT∣|HO| + |HT| 的最小值，并给出此时点 HH 的坐标； (3) 过点 T(1,−1)T(1, -1) 且不平行于 yy 轴的直线 l1l_{1} 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 l1l_{1} 的斜率 kk 的取值范围.

2011 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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