已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2}+\left(y-4\right)^{2}=4$，点 $O$ 是坐标原点，直线 $l:y=kx$ 与圆 $C$ 交于 $M$，$N$ 两点.

(1) 求 $k$ 的取值范围； (2) 设 $Q(m,n)$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac{2}{|OQ|^{2}}=\dfrac{1}{|OM|^{2}}+\dfrac{1}{|ON|^{2}}$，请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数.

已知函数 其中 $a$ 是实数. 设 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$.

(1) 指出函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直，且 $x_2<0$，证明：$x_2-x_1\geqslant1$； (3) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围.