在抛物线 $y = x^{2} + ax - 5$ （$a \neq 0$）上取横坐标为 $x_{1} = -4$，$x_{2} = 2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5x^{2} + 5y^{2} = 36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）

在集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\alpha = (a,b)$. 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量作为邻边作平行四边形. 记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}=$（ ）

如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = AA_{1} = 1$. $D$ 是棱 $CC_{1}$ 上的一点，$P$ 是 $AD$ 的延长线与 $A_{1}C_{1}$ 的延长线的交点，且 $PB_{1} \parallel$ 平面 $BDA_{1}$.

(1) 求证：$CD = C_{1}D$； (2) 求二面角 $A - A_{1}D - B$ 的平面角的余弦值； (3) 求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离.

设 $d$ 为非零实数，$a_{n} = \frac{1}{n}\left[\mathrm C_n^1d + 2\mathrm C_n^2d^{2} + \dots + (n - 1)\mathrm C_n^{n - 1}d^{n - 1} + n\mathrm C_n^nd^{n}\right]$ （$n\in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 写出 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 并判断 $\{a_n\}$ 是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (2) 设 $b_n = nda_n$ （$n \in \mathbf{N}^{*}$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.