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01概率与统计★☆☆☆☆
有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)[11.5,15.5)[15.5,19.5)[15.5,19.5)[19.5,23.5)[19.5,23.5)[23.5,27.5)[23.5,27.5)
24918
[27.5,31.5)[27.5,31.5)[31.5,35.5)[31.5,35.5)[35.5,39.5)[35.5,39.5)[39.5,43.5)[39.5,43.5)
111273
根据样本的频率分布，估计数据落在 [31.5,43.5)[31.5,43.5) 的概率约是（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
13\frac{1}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 −i+1i=-\mathrm{i} + \frac{1}{\mathrm{i}} =（ ）
A.
−2i-2\mathrm{i}
B.
12i\frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
00
D.
2i2\mathrm{i}

2011 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
l1l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3} 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.
l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3l_{1} \perp l_{2}, l_{2} \perp l_{3} \Rightarrow l_{1} \parallel l_{3}
B.
l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，l2∥l3⇒l1⊥l3l_{2} \parallel l_{3} \Rightarrow l_{1} \perp l_{3}
C.
l1∥l2∥l3⇒l1l_{1} \parallel l_{2} \parallel l_{3} \Rightarrow l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3} 共面
D.
l1l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3} 共点 ⇒l1\Rightarrow l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3} 共面

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04平面向量★★☆☆☆
如图，正六边形 ABCDEFABCDEF 中，BA→+CD→+EF→=\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} =（ ）
A.
00
B.
BE→\overrightarrow{BE}
C.
AD→\overrightarrow{AD}
D.
CF→\overrightarrow{CF}

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
“函数 f(x)f(x) 在点 x=x0x=x_0 处有定义”是“f(x)f(x) 在点 x=x0x=x_0 处连续”的（ ）
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

2011 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A⩽sin⁡2B+sin⁡2C−sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A \leqslant \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C，则 AA 的取值范围是（ ）
A.
(0,π6]\left(0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π6,π)\left[\frac{\pi}{6},\pi\right)
C.
(0,π3]\left(0, \frac{\pi}{3}\right]
D.
[π3,π)\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right)

2011 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x > 0 时，f(x)=(12)x+1f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1，则 f(x)f(x) 的反函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

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08数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的首项为 3，{bn}\{b_{n}\} 为等差数列且 bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）. 若 b3=−2b_{3}=-2，b10=12b_{10}=12，则 a8=a_{8} =（ ）
A.
00
B.
33
C.
88
D.
1111

2011 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需运往 AA 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元. 该公司合理计划当天派用甲，乙卡车的车辆数，可得最大利润 z=z =（ ）
A.
4650 元4650\text{ 元}
B.
4700 元4700\text{ 元}
C.
4900 元4900\text{ 元}
D.
5000 元5000\text{ 元}

2011 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
在抛物线 y=x2+ax−5y = x^{2} + ax - 5 （a≠0a \neq 0）上取横坐标为 x1=−4x_{1} = -4，x2=2x_{2} = 2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=365x^{2} + 5y^{2} = 36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A.
(−2,−9)(-2, -9)
B.
(0,−5)(0, -5)
C.
(2,−9)(2, -9)
D.
(1,−6)(1, -6)

2011 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知定义在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=3f(x+2)f(x) = 3f(x + 2)，当 x∈[0,2)x \in [0, 2) 时，f(x)=−x2+2xf(x) = -x^{2} + 2x. 设 f(x)f(x) 在 [2n−2,2n)[2n - 2, 2n) 上的最大值为 ana_{n} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），且{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty} S_{n} =（ ）
A.
33
B.
52\frac{5}{2}
C.
22
D.
32\frac{3}{2}

2011 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
在集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中任取一个偶数 aa 和一个奇数 bb 构成以原点为起点的向量 α=(a,b)\alpha = (a,b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量作为邻边作平行四边形. 记所有作成的平行四边形的个数为 nn，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 mm，则 mn=\frac{m}{n}=（ ）
A.
415\frac{4}{15}
B.
13\frac{1}{3}
C.
25\frac{2}{5}
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
计算 (lg⁡14−lg⁡25)÷100−12=‾\left(\lg \frac{1}{4} - \lg 25\right) \div 100^{-\frac{1}{2}} =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
双曲线 x264−y236=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 上一点 PP 到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 PP 到左准线的距离是______.

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，半径为 RR 的球 OO 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.

2011 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 AA. 若 x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2}) 时总有 x1=x2x_{1} = x_{2}，则称 f(x)f(x) 为单函数. 例如，函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}） 是单函数. 下列命题：
① 函数 f(x)=x2f(x)=x^{2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）是单函数； ② 若 f(x)f(x) 为单函数，x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，则 f(x1)≠f(x2)f(x_{1}) \neq f(x_{2})； ③ 若 f:A→Bf: A \to B 为单函数，则对于任意 b∈Bb \in B，它至多有一个原象； ④ 函数 f(x)f(x) 在某区间上具有单调性，
则 f(x)f(x) 一定是单函数. 其中的真命题是______.（写出所有真命题的编号）

2011 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x+7π4)+cos⁡(x−3π4)f(x) = \sin \left( x + \frac{7\pi}{4} \right) + \cos \left( x - \frac{3\pi}{4} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 已知 cos⁡(β−α)=45\cos(\beta-\alpha)=\frac{4}{5}，cos⁡(β+α)=−45\cos(\beta+\alpha)=-\frac{4}{5}，0<α<β⩽π20 < \alpha < \beta \leqslant \frac{\pi}{2}，求证： [f(β)]2−2=0\left[f(\beta)\right]^2 - 2 = 0.

2011 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
本着健康，低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多. 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）. 有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）. 设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为 14\frac{1}{4}，12\frac{1}{2}；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是 12\frac{1}{2}，14\frac{1}{4}；两人租车时间都不会超过四小时.
(1) 求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率； (2) 设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列及数学期望 E(ξ)E(\xi).

2011 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=AA1=1AB = AC = AA_{1} = 1. DD 是棱 CC1CC_{1} 上的一点，PP 是 ADAD 的延长线与 A1C1A_{1}C_{1} 的延长线的交点，且 PB1∥PB_{1} \parallel 平面 BDA1BDA_{1}.
(1) 求证：CD=C1DCD = C_{1}D； (2) 求二面角 A−A1D−BA - A_{1}D - B 的平面角的余弦值； (3) 求点 CC 到平面 B1DPB_{1}DP 的距离.

2011 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★☆
设 dd 为非零实数，an=1n[Cn1d+2Cn2d2+⋯+(n−1)Cnn−1dn−1+nCnndn]a_{n} = \frac{1}{n}\left[\mathrm C_n^1d + 2\mathrm C_n^2d^{2} + \dots + (n - 1)\mathrm C_n^{n - 1}d^{n - 1} + n\mathrm C_n^nd^{n}\right] （n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 写出 a1a_1，a2a_2，a3a_3 并判断 {an}\{a_n\} 是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (2) 设 bn=ndanb_n = nda_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2011 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
椭圆有两顶点 A(−1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，过其焦点 F(0,1)F(0,1) 的直线 ll 与椭圆交于 CC，DD 两点，并与 xx 轴交于点 PP. 直线 ACAC 与直线 BDBD 交于点 QQ.
(1) 当 ∣CD∣=322|CD| = \frac{3}{2}\sqrt{2} 时，求直线 ll 的方程. (2) 当点 PP 异于 AA，BB 两点时，求证：OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} 为定值.

2011 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=23x+12f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}，h(x)=xh(x)=\sqrt{x}.
(1) 设函数 F(x)=f(x)−h(x)F(x)=f(x)-h(x)，求 F(x)F(x) 的单调区间与极值； (2) 设 a∈Ra\in\mathbf{R}，解关于 xx 的方程 log⁡4[32f(x−1)−34]=log⁡2h(a−x)−log⁡2h(4−x)\log_{4}\left[\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}\right]=\log_{2}h(a-x)-\log_{2}h(4-x)； (3) 试比较 f(100)h(100)−∑k=1100h(k)f(100)h(100)-\displaystyle\sum_{k=1}^{100}h(k) 与 16\frac{1}{6} 的大小.

2011 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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