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12立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a>0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
假设某市 2004 年2004\text{ 年} 新建住房面积 400 万平方米400\text{ 万平方米}，其中有 250 万平方米250\text{ 万平方米} 是中低价房. 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%8\%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米50\text{ 万平方米}. 那么，到哪一年底，
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年2004\text{ 年} 为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米4750\text{ 万平方米}？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%85\%？

2005 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点为 FF，AA 是抛物线上横坐标为 44，且位于 xx 轴上方的点，AA 到抛物线准线的距离等于 55. 过 AA 作 ABAB 垂直于 yy 轴，垂足为 BB，OBOB 的中点为 MM.
(1) 求抛物线方程； (2) 过 MM 作 MN⊥FAMN \perp FA，垂足为 NN，求点 NN 的坐标； (3) 以 MM 为圆心，MBMB 为半径作圆 MM，当 K(m,0)K(m,0) 是 xx 轴上一动点时，讨论直线 AKAK 与圆 MM 的位置关系.

2005 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
对定义域是 DfD_f，DgD_g 的函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x)，规定：函数
h(x)={f(x)g(x),当 x∈Df 且 x∈Dg,f(x),当 x∈Df 且 x∉Dg,g(x),当 x∉Df 且 x∈Dg.h(x) = \begin{cases} f(x)g(x), & \text{当 } x \in D_f \text{ 且 } x \in D_g,\\ f(x), & \text{当 } x \in D_f \text{ 且 } x \notin D_g,\\ g(x), & \text{当 } x \notin D_f \text{ 且 } x \in D_g. \end{cases}
(1) 若函数 f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3，x⩾1x \geqslant 1，g(x)=x−2g(x) = x - 2，x∈Rx \in \mathbf{R}，写出函数 h(x)h(x) 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 h(x)h(x) 的最大值； (3) 若 g(x)=f(x+α)g(x) = f(x + \alpha)，其中 α\alpha 是常数，且 α∈[0,π]\alpha \in [0,\pi]，请设计一个定义域为 R\mathbf{R} 的函数 y=f(x)y = f(x)，及一个 α\alpha 的值，使得 h(x)=cos⁡4xh(x) = \cos 4x，并予以证明.

2005 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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