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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=log⁡4(x+1)f(x)=\log_{4}(x+1) 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2005 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 4x+2x−2=04^{x} + 2^{x} - 2 = 0 的解是______.

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03不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足条件
{x+y⩽3,y⩽2x,\left\{\begin{aligned} &x + y \leqslant 3, \\ &y \leqslant 2x, \end{aligned}\right.
则 z=3x+4yz = 3x + 4y 的最大值是______.

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04平面向量★☆☆☆☆
直角坐标平面 xOyxOy 中，若定点 A(1,2)A(1,2) 与动点 P(x,y)P(x,y) 满足 OP→⋅OA→=4\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 4，则点 PP 的轨迹方程是______.

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡2x+sin⁡xcos⁡xy = \cos 2x + \sin x \cos x 的最小正周期 T=T =______.

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06三角函数★☆☆☆☆
若 cos⁡α=17\cos\alpha=\frac{1}{7}，α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，则 cos⁡(α+π3)=\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=______.

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07解析几何★★☆☆☆
若椭圆长轴长与短轴长之比为 22，它的一个焦点是 (215,0)(2\sqrt{15},0)，则椭圆的标准方程是______.

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08概率与统计★★☆☆☆
某班有 5050 名学生，其中 1515 人选修 AA 课程，另外 3535 人选修 BB 课程. 从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是______. （结果用分数表示）

2005 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
直线 y=12xy = \frac{1}{2} x 关于直线 x=1x = 1 对称的直线方程是______.

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 A=120∘A = 120^{\circ}，AB=5AB = 5，BC=7BC = 7，则 AC=AC =______.

2005 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+2∣sin⁡x∣f(x)=\sin x+2|\sin x|，x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 的图象与直线 y=ky=k 有且仅有两个不同的交点，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a>0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 M={x∣∣x−1∣⩽2,x∈R}M = \{x \mid |x - 1| \leqslant 2, x \in \mathbf{R}\}，P={x∣5x+1⩾1,x∈Z}P = \left\{x \mid \frac{5}{x + 1} \geqslant 1, x \in \mathbf{Z}\right\}，则 M∩PM \cap P 等于（ ）
A.
{x∣0<x⩽3,x∈Z}\{x\mid 0 < x\leqslant 3,x\in \mathbf{Z}\}
B.
{x∣0⩽x⩽3,x∈Z}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3,x\in \mathbf{Z}\}
C.
{x∣−1⩽x⩽0,x∈Z}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 0,x\in \mathbf{Z}\}
D.
{x∣−1⩽x<0,x∈Z}\{x\mid -1\leqslant x < 0,x\in \mathbf{Z}\}

2005 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
条件甲：“a>1a > 1”是条件乙：“a>aa > \sqrt{a}”的（ ）
A.
既不充分也不必要条件
B.
充要条件
C.
充分不必要条件
D.
必要不充分条件

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
用 nn 个不同的实数 a1a_1，a2a_2，…\dots，ana_n 可得到 n!n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!n! 行的数阵. 对第 ii 行 ai1a_{i1}，ai2a_{i2}，…\dots，aina_{in}，记 bi=−ai1+2ai2−3ai3+⋯+(−1)nnainb_i = -a_{i1} + 2a_{i2} - 3a_{i3} + \dots + (-1)^n n a_{in}，i=1i = 1，22，33，…\dots，n!n!. 例如：用 11，22，33 可得数阵如图，由于数阵中每一列各数之和都是 1212，所以，b1+b2+⋯+b6=−12+2×12−3×12=−24b_1 + b_2 + \cdots + b_6 = -12 + 2 \times 12 - 3 \times 12 = -24，那么，在用 11，22，33，44，55 形成的数阵中， b1+b2+⋯+b120=b_1 + b_2 + \cdots + b_{120} =______.
123
132
213
231
312
321
A.
−3600-3600
B.
1800
C.
−1080-1080
D.
−720-720

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17立体几何初步★★★☆☆
已知长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，MM，NN 分别是 BB1BB_{1} 和 BCBC 的中点，AB=4AB = 4，AD=2AD = 2，B1DB_{1}D 与平面 ABCDABCD 所成角的大小为 60∘60^{\circ}，求异面直线 B1DB_{1}D 与 MNMN 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2005 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18复数★★★☆☆
在复数范围内解方程 ∣z∣2+(z+z‾)i=3−i2+i|z|^2 + (z + \overline{z})\mathrm{i} = \frac{3 - \mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}}. （i\mathrm{i} 为虚数单位）

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19解析几何★★★☆☆
已知函数 f(x)=kx+bf(x) = kx + b 的图象与 xx，yy 轴分别相交于点 AA，BB，AB→=2i+2j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j}（i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正半轴同方向的单位向量），函数 g(x)=x2−x−6g(x) = x^2 - x - 6.
(1) 求 kk，bb 的值； (2) 当 xx 满足 f(x)>g(x)f(x) > g(x) 时，求函数 g(x)+1f(x)\frac{g(x) + 1}{f(x)} 的最小值.

2005 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
假设某市 2004 年2004\text{ 年} 新建住房面积 400 万平方米400\text{ 万平方米}，其中有 250 万平方米250\text{ 万平方米} 是中低价房. 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%8\%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米50\text{ 万平方米}. 那么，到哪一年底，
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年2004\text{ 年} 为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米4750\text{ 万平方米}？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%85\%？

2005 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点为 FF，AA 是抛物线上横坐标为 44，且位于 xx 轴上方的点，AA 到抛物线准线的距离等于 55. 过 AA 作 ABAB 垂直于 yy 轴，垂足为 BB，OBOB 的中点为 MM.
(1) 求抛物线方程； (2) 过 MM 作 MN⊥FAMN \perp FA，垂足为 NN，求点 NN 的坐标； (3) 以 MM 为圆心，MBMB 为半径作圆 MM，当 K(m,0)K(m,0) 是 xx 轴上一动点时，讨论直线 AKAK 与圆 MM 的位置关系.

2005 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
对定义域是 DfD_f，DgD_g 的函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x)，规定：函数
h(x)={f(x)g(x),当 x∈Df 且 x∈Dg,f(x),当 x∈Df 且 x∉Dg,g(x),当 x∉Df 且 x∈Dg.h(x) = \begin{cases} f(x)g(x), & \text{当 } x \in D_f \text{ 且 } x \in D_g,\\ f(x), & \text{当 } x \in D_f \text{ 且 } x \notin D_g,\\ g(x), & \text{当 } x \notin D_f \text{ 且 } x \in D_g. \end{cases}
(1) 若函数 f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3，x⩾1x \geqslant 1，g(x)=x−2g(x) = x - 2，x∈Rx \in \mathbf{R}，写出函数 h(x)h(x) 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 h(x)h(x) 的最大值； (3) 若 g(x)=f(x+α)g(x) = f(x + \alpha)，其中 α\alpha 是常数，且 α∈[0,π]\alpha \in [0,\pi]，请设计一个定义域为 R\mathbf{R} 的函数 y=f(x)y = f(x)，及一个 α\alpha 的值，使得 h(x)=cos⁡4xh(x) = \cos 4x，并予以证明.

2005 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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