数迹
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11指数函数与对数函数★★★★☆
0<a<10<a<1，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣>2\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|>2
B.
∣log⁡1+a(1−a)∣<∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)\right|<\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
C.
∣log⁡1+a(1−a)+log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)+\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
D.
∣log⁡1+a(1−a)−log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣−∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)-\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|-\left|\log_{1-a}(1+a)\right|

2005 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 x=1x=1 是函数 f(x)=mx3−3(m+1)x2+nx+1f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1 的一个极值点，其中 mm，n∈Rn\in\mathbf{R}，m<0m<0.
(1) 求 mm 与 nn 的关系式； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 x∈[−1,1]x\in[-1,1] 时，函数 y=f(x)y=f(x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m3m，求 mm 的取值范围.

2005 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=5a_1=5，前 nn 项和为 SnS_n，且 Sn+1=2Sn+n+5S_{n+1}=2S_n+n+5（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 是等比数列； (2) 令 f(x)=a1x+a2x2+⋯+anxnf(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，求函数 f(x)f(x) 在点 x=1x=1 处的导数 f′(1)f'(1) 并比较 2f′(1)2f'(1) 与 23n2−13n23n^2-13n 的大小.

2005 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 (p2,0)\left(\dfrac{p}{2},0\right)，且与直线 x=−p2x=-\dfrac{p}{2} 相切，其中 p>0p>0.
(1) 求动圆圆心 CC 的轨迹的方程； (2) 设 AA，BB 是轨迹 CC 上异于原点 OO 的两个不同点，直线 OAOA 和 OBOB 的倾斜角分别为 α\alpha 和 β\beta，当 α\alpha，β\beta 变化且 α+β\alpha+\beta 为定值 θ\theta（0<θ<π0<\theta<\pi）时，证明直线 ABAB 恒过定点，并求出该定点的坐标.

2005 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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