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01复数★☆☆☆☆
1−i(1+i)2+1+i(1−i)2=\dfrac{1-\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})^2}+\dfrac{1+\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^2}=（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
11
D.
−1-1

2005 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1−xxy=\dfrac{1-x}{x}（x≠0x\neq 0）的反函数图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2005 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=sin⁡(x−π12)cos⁡(x−π12)y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)\cos\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)，则下列判断正确的是（ ）
A.
此函数的最小周期为 2π2\pi，其图象的一个对称中心是 (π12,0)\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)
B.
此函数的最小周期为 π\pi，其图象的一个对称中心是 (π12,0)\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)
C.
此函数的最小周期为 2π2\pi，其图象的一个对称中心是 (π6,0)\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)
D.
此函数的最小周期为 π\pi，其图象的一个对称中心是 (π6,0)\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)

2005 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数既是奇函数，又在区间 [−1,1][-1,1] 上单调递减的是（ ）
A.
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x
B.
f(x)=−∣x+1∣f(x)=-|x+1|
C.
f(x)=12(ax+a−x)f(x)=\dfrac{1}{2}(a^x+a^{-x})
D.
f(x)=ln⁡2−x2+xf(x)=\ln\dfrac{2-x}{2+x}

2005 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
如果 (3x−1x23)n\left(3x-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)^n 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 1x3\dfrac{1}{x^3} 的系数是（ ）
A.
77
B.
−7-7
C.
2121
D.
−21-21

2005 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
函数
f(x)={sin⁡(πx2),−1<x<0,ex−1,x⩾0.f(x)=\begin{cases} \sin(\pi x^2), & -1<x<0,\\ \mathrm{e}^{x-1}, & x\geqslant 0. \end{cases}
，若 f(1)+f(a)=2f(1)+f(a)=2，则 aa 的所有可能值为（ ）
A.
11
B.
−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
C.
11，−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
D.
11，22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2005 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，且 AB→=a+2b\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}，BC→=−5a+6b\overrightarrow{BC}=-5\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b}，CD→=7a−2b\overrightarrow{CD}=7\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}，则一定共线的三点是（ ）
A.
A,B,DA,B,D
B.
AA，BB，CC
C.
BB，CC，DD
D.
AA，CC，DD

2005 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
设地球的半径为 RR，若甲地位于北纬 45∘45^{\circ} 东经 120∘120^{\circ}，乙地位于南纬 75∘75^{\circ} 东经 120∘120^{\circ}，则甲，乙两地的球面距离为（ ）
A.
3R\sqrt{3}R
B.
π6R\dfrac{\pi}{6}R
C.
5π6R\dfrac{5\pi}{6}R
D.
2π3R\dfrac{2\pi}{3}R

2005 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
1010 张奖券中只有 33 张有奖，55 个人购买，每人 11 张，至少有 11 人中奖的概率是（ ）
A.
310\dfrac{3}{10}
B.
112\dfrac{1}{12}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
1112\dfrac{11}{12}

2005 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 AA，BB 是全集 UU 的两个子集，则 A⊊BA \subsetneq B 是 (∁UA)∪B=U(\complement_U A) \cup B = U 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2005 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★★☆
0<a<10<a<1，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣>2\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|>2
B.
∣log⁡1+a(1−a)∣<∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)\right|<\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
C.
∣log⁡1+a(1−a)+log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)+\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
D.
∣log⁡1+a(1−a)−log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣−∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)-\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|-\left|\log_{1-a}(1+a)\right|

2005 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设直线 l ⁣:2x+y+2=0l\colon 2x+y+2=0 关于原点对称的直线为 l′l'，若 l′l' 与椭圆 x2+y24=1x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 的交点为 AA，BB，点 PP 为椭圆上的动点，则使 △PAB\triangle PAB 的面积为 12\dfrac{1}{2} 的点 PP 的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2005 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★☆☆☆☆
lim⁡n→∞Cn2+2Cnn−2(n+1)2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm C_n^2+2\mathrm C_n^{n-2}}{(n+1)^2}=______.

2005 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点为 FF，右准线 ll 与两条渐近线交于 PP，QQ 两点，如果 △PQF\triangle PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=e=______.

2005 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽5,3x+2y⩽12,0⩽x⩽3,0⩽y⩽4,\begin{cases} x+y\leqslant 5,\\ 3x+2y\leqslant 12,\\ 0\leqslant x\leqslant 3,\\ 0\leqslant y\leqslant 4, \end{cases}
则使得目标函数 z=6x+5yz=6x+5y 的最大的点 (x,y)(x,y) 是______.

2005 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是不同的直线，α\alpha，β\beta 是不重合的平面，给出下列命题：
① 若 α∥β\alpha\parallel\beta，m⊂αm\subset\alpha，n⊂βn\subset\beta，则 m∥nm\parallel n； ② 若 mm，n⊂αn\subset\alpha，m∥βm\parallel\beta，n∥βn\parallel\beta，则 α∥β\alpha\parallel\beta； ③ 若 m⊥αm\perp\alpha，n⊥βn\perp\beta，m∥nm\parallel n，则 α∥β\alpha\parallel\beta； ④ mm，nn 是两条异面直线，若 m∥αm\parallel\alpha，m∥βm\parallel\beta，n∥αn\parallel\alpha，n∥βn\parallel\beta，则 α∥β\alpha\parallel\beta.
上面的命题中，真命题的序号是______.（写出所有真命题的序号）

2005 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{m}=(\cos\theta,\sin\theta) 和 n=(2−sin⁡θ,cos⁡θ)\boldsymbol{n}=(\sqrt{2}-\sin\theta,\cos\theta)，θ∈(π,2π)\theta\in(\pi,2\pi)，且 ∣m+n∣=825\left|\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}\right|=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}，求 cos⁡(θ2+π8)\cos\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right) 的值.

2005 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
袋中装有黑球和白球共 77 个，从中任取 22 个球都是白球的概率为 17\dfrac{1}{7}，现有甲，乙两人从袋中轮流摸取 11 球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ⋯\cdots，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止. 每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ\xi 表示取球终止所需要的取球次数.
(1) 求袋中所有的白球的个数； (2) 求随机变量 ξ\xi 的概率分布； (3) 求甲取到白球的概率.

2005 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 x=1x=1 是函数 f(x)=mx3−3(m+1)x2+nx+1f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1 的一个极值点，其中 mm，n∈Rn\in\mathbf{R}，m<0m<0.
(1) 求 mm 与 nn 的关系式； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 x∈[−1,1]x\in[-1,1] 时，函数 y=f(x)y=f(x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m3m，求 mm 的取值范围.

2005 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，已知长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=2AB=2，AA1=1AA_{1}=1，直线 BDBD 与平面 AA1B1BAA_{1}B_{1}B 所成的角为 30∘30^{\circ}，AEAE 垂直 BDBD 于 EE，FF 为 A1B1A_{1}B_{1} 的中点.
(1) 求异面直线 AEAE 与 BFBF 所成的角； (2) 求平面 BDFBDF 与平面 AA1BAA_{1}B 所成的二面角（锐角）的大小； (3) 求点 AA 到平面 BDFBDF 的距离.

2005 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=5a_1=5，前 nn 项和为 SnS_n，且 Sn+1=2Sn+n+5S_{n+1}=2S_n+n+5（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 是等比数列； (2) 令 f(x)=a1x+a2x2+⋯+anxnf(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，求函数 f(x)f(x) 在点 x=1x=1 处的导数 f′(1)f'(1) 并比较 2f′(1)2f'(1) 与 23n2−13n23n^2-13n 的大小.

2005 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 (p2,0)\left(\dfrac{p}{2},0\right)，且与直线 x=−p2x=-\dfrac{p}{2} 相切，其中 p>0p>0.
(1) 求动圆圆心 CC 的轨迹的方程； (2) 设 AA，BB 是轨迹 CC 上异于原点 OO 的两个不同点，直线 OAOA 和 OBOB 的倾斜角分别为 α\alpha 和 β\beta，当 α\alpha，β\beta 变化且 α+β\alpha+\beta 为定值 θ\theta（0<θ<π0<\theta<\pi）时，证明直线 ABAB 恒过定点，并求出该定点的坐标.

2005 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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