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13三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \cdots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC 三地有直道相通，AB=5 千米AB = 5\text{ 千米}，AC=3 千米AC = 3\text{ 千米}，BC=4 千米BC = 4\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 AA 地出发匀速前往 BB 地，过 t 小时t\text{ 小时}，他们之间的距离为 f(t)f(t) （单位：千米）. 甲的路线是 ABAB，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 ACBACB，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 BB 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 CC 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米3\text{ 千米}. 当 t1⩽t⩽1t_{1} \leqslant t \leqslant 1 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,1][t_{1}, 1] 上的最大值是否超过 33. 说明理由.

2015 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记得到的平行四边形 ACBDACBD 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=2∣x1y2−x2y1∣S = 2|x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|. (2) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 −12-\frac{1}{2}，求面积 SS 的值.

2015 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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