已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 和数列 $\{a_n\}$ 满足下列条件：

① $a_1 = a$，$a_n = f(a_{n-1})$（$n = 2$，$3$，$4$，$\cdots$）； ② $a_2 \neq a_1$，$f(a_n) - f(a_{n-1}) = k(a_n - a_{n-1})$（$n = 2$，$3$，$4$，$\cdots$）； ③ 其中 $a$ 为常数，$k$ 为非零常数.

(1) 令 $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (3) 当 $|k| < 1$ 时，求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$.