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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，(−1+i)(2+i)i3=\frac{(-1 + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{\mathrm{i}^3} =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
−1−i-1 - \mathrm{i}
C.
1+3i1 + 3\mathrm{i}
D.
−1−3i-1 - 3\mathrm{i}

2004 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x⩾2\frac{x - 1}{x} \geqslant 2 的解集为（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1]∪(0,+∞)(-\infty, -1] \cup (0, +\infty)

2004 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
若平面向量 b\boldsymbol{b} 与向量 a=(1,−2)\boldsymbol{a} = (1, -2) 的夹角是 180∘180^{\circ}，且 ∣b∣=35\left|\boldsymbol{b}\right| = 3\sqrt{5}，则 b=\boldsymbol{b} =（ ）
A.
(−3,6)(-3,6)
B.
(3,−6)(3, -6)
C.
(6,−3)(6, -3)
D.
(−6,3)(-6,3)

2004 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
设 PP 是双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−2y=03x - 2y = 0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线的左，右焦点，若 ∣PF1∣=3\left|PF_1\right| = 3，则 ∣PF2∣=\left|PF_2\right| =（ ）
A.
11 或 55
B.
66
C.
77
D.
99

2004 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（0<a<10 < a < 1）在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最大值是最小值的 33 倍，则 a=a =（ ）
A.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2004 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，OO 是底面 ABCDABCD 的中心，EE，FF 分别是 CC1CC_{1}，ADAD 的中点. 那么异面直线 OEOE 和 FD1FD_{1} 所成的角的余弦值等于（ ）
A.
105\frac{\sqrt{10}}{5}
B.
155\frac{\sqrt{15}}{5}
C.
45\frac{4}{5}
D.
25\frac{2}{5}

2004 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
若 P(2,−1)P(2, -1) 为圆 (x−1)2+y2=25(x - 1)^2 + y^2 = 25 的弦 ABAB 的中点，则直线 ABAB 的方程是（ ）
A.
x−y−3=0x - y - 3 = 0
B.
2x+y−3=02x + y - 3 = 0
C.
x+y−1=0x + y - 1 = 0
D.
2x−y−5=02x - y - 5 = 0

2004 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，那么“对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，点 Pn(n,an)P_{n}(n, a_{n}) 都在直线 y=2x+1y = 2x + 1 上”是“{an}\{a_{n}\} 为等差数列”的（ ）
A.
必要而不充分条件
B.
充分而不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2004 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡(π6−2x)y = 2\sin \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)（x∈[0,π]x \in [0, \pi]）为增函数的区间是（ ）
A.
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
B.
[π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right]
C.
[π3,5π6]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]
D.
[5π6,π]\left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]

2004 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=6AB = 6，AD=4AD = 4，AA1=3AA_{1} = 3. 分别过 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V1=VAEA1−DFD1V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}，V2=VEBE1A1−FCF1D1V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}，V3=VB1E1B−C1F1CV_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}. 若 V1:V2:V3=1:4:1V_{1}: V_{2}: V_{3} = 1: 4: 1，则截面 A1EFD1A_{1}EFD_{1} 的面积为（ ）
A.
4104\sqrt{10}
B.
838\sqrt{3}
C.
4134\sqrt{13}
D.
1616

2004 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=3x2−1y = 3^{x^2 - 1}（−1⩽x<0-1 \leqslant x < 0）的反函数是（ ）
A.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_3 x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
B.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_3 x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
C.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_3 x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）
D.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_3 x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）

2004 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 既是偶函数又是周期函数，若 f(x)f(x) 的最小正周期是 π\pi，且当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，则 f(5π3)f\left(\frac{5\pi}{3}\right) 的值为（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2004 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
某工厂生产 AA，BB，CC 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:52:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 nn 的样本，样本中 AA 种型号产品有 1616 件. 那么此样本的容量 n=n =______.

2004 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
如果过两点 A(a,0)A(a,0) 和 B(0,a)B(0,a) 的直线与抛物线 y=x2−2x−3y = x^{2} - 2x - 3 没有交点，那么实数 aa 的取值范围是______.

2004 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (1−2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(1-2x)^{2004}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{2004}x^{2004}（x∈Rx\in\mathbf{R}），则 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2004)=(a_{0}+a_{1})+(a_{0}+a_{2})+(a_{0}+a_{3})+\cdots+(a_{0}+a_{2004})=______.

2004 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从 11，33，55，77 中任取 22 个数字，从 00，22，44，66，88 中任取 22 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 55 整除的四位数共有______.

2004 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡(π4+α)=12\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1}{2}.
(1) 求 tan⁡α\tan \alpha 的值； (2) 求 sin⁡2α−cos⁡2α1+cos⁡2α\frac{\sin 2\alpha - \cos^2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} 的值.

2004 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛，设随机变量 ξ\xi 表示所选 33 人中女生的人数.
(1) 求 ξ\xi 的分布列； (2) 求 ξ\xi 的数学期望； (3) 求“所选 33 人中女生人数 ξ⩽1\xi \leqslant 1”的概率.

2004 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，侧棱 PD⊥PD \perp 底面 ABCDABCD，PD=DCPD = DC，EE 是 PCPC 的中点，作 EF⊥PBEF \perp PB 交 PBPB 于点 FF.
(1) 证明：PA∥PA \parallel 平面 EDBEDB； (2) 证明：PB⊥PB \perp 平面 EFDEFD； (3) 求二面角 C−PB−DC - PB - D 的大小.

2004 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2−3xf(x) = ax^3 + bx^2 - 3x 在 x=±1x = \pm 1 处取得极值.
(1) 讨论 f(1)f(1) 和 f(−1)f(-1) 是函数 f(x)f(x) 的极大值还是极小值； (2) 过点 A(0,16)A(0,16) 作曲线 y=f(x)y = f(x) 的切线. 求此切线方程.

2004 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 和数列 {an}\{a_n\} 满足下列条件：
① a1=aa_1 = a，an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1})（n=2n = 2，33，44，⋯\cdots）； ② a2≠a1a_2 \neq a_1，f(an)−f(an−1)=k(an−an−1)f(a_n) - f(a_{n-1}) = k(a_n - a_{n-1})（n=2n = 2，33，44，⋯\cdots）； ③ 其中 aa 为常数，kk 为非零常数.
(1) 令 bn=an+1−anb_{n} = a_{n+1} - a_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），证明数列 {bn}\{b_{n}\} 是等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 当 ∣k∣<1|k| < 1 时，求 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n.

2004 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆的中心是原点 OO，它的短轴长为 222\sqrt{2}. 相应于焦点 F(c,0)F(c,0)（c>0c > 0）的准线 ll 与 xx 轴相交于点 AA，∣OF∣=2∣FA∣|OF| = 2|FA|. 过点 AA 的直线与椭圆相交于 PP，QQ 两点.
(1) 求椭圆的方程及离心率； (2) 若 OP→⋅OQ→=0\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0，求直线 PQPQ 的方程； (3) 设 AP→=λAQ→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AQ}（λ>1\lambda > 1），过点 PP 且平行于准线 ll 的直线与椭圆相交于另一点 MM，证明 FM→=−λFQ→\overrightarrow{FM} = -\lambda \overrightarrow{FQ}.

2004 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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