已知函数 $f(x) = |\ln x|$， 则方程 $|f(x) + g(x)| = 1$ 实根的个数为______.

设向量 $\boldsymbol{a}_k = \left(\cos \frac{k\pi}{6}, \sin \frac{k\pi}{6} + \cos \frac{k\pi}{6}\right)$（$k = 0$，$1$，$2$，$\cdots$，$12$），则 $\sum_{k=0}^{11} (\boldsymbol{a}_k \cdot \boldsymbol{a}_{k+1})$ 的值为______.

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为 $l_1$，$l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为 $l$. 如图所示，$M$，$N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $5\text{ 千米}$ 和 $40\text{ 千米}$，点 $N$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $20\text{ 千米}$ 和 $2.5\text{ 千米}$. 以 $l_2$，$l_1$ 所在的直线分别为 $x$，$y$ 轴，建立平面直角坐标系 $xOy$. 假设曲线 $C$ 符合函数 $y = \dfrac{a}{x^2 + b}$（其中 $a$，$b$ 为常数）模型.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 设公路 $l$ 与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点，$P$ 的横坐标为 $t$.

(i) 请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f(t)$，并写出其定义域； (ii) 当 $t$ 为何值时，公路 $l$ 的长度最短？求出最短长度.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$ 到左准线 $l$ 的距离为 $3$.

(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $AB$ 于点 $P$，$C$，若 $PC = 2AB$，求直线 $AB$ 的方程.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，已知 $PA \perp$ 平面 $ABCD$，且四边形 $ABCD$ 为直角梯形，$\angle ABC = \angle BAD = \dfrac{\pi}{2}$，$PA = AD = 2$，$AB = BC = 1$.

(1) 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 所成二面角的余弦值； (2) 点 $Q$ 是线段 $BP$ 上的动点. 当直线 $CQ$ 与 $DP$ 所成的角最小时，求线段 $BQ$ 的长.

已知集合 $X = \{1, 2, 3\}$，$Y_n = \{1, 2, 3, \cdots, n\}$（$n \in \mathbf{N}^*$），设 $S_n = \{(a, b) \mid a$ 整除 $b$ 或 $b$ 整除 $a, a \in X, b \in Y_n\}$，令 $f(n)$ 表示集合 $S_n$ 所含元素的个数.

(1) 写出 $f(6)$ 的值； (2) 当 $n \geqslant 6$ 时，写出 $f(n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明.