如图，$A$，$B$ 是半径为 $2$ 的圆周上的定点，$P$ 为圆周上的动点，$\angle APB$ 是锐角，大小为 $\beta$. 图中阴影区域的面积的最大值为（ ）.

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$，且经过点 $A(0,1)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为原点，直线 $l:y=kx+t$（$t\ne\pm1$）与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P$，$Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2$，求证：直线 $l$ 经过定点.

已知函数 $f(x)=\dfrac14x^3-x^2+x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程； (2) 当 $x\in\left[-2,4\right]$ 时，求证：$x-6\le f(x)\le x$； (3) 设 $F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert$（$a\in\mathbf{R}$），记 $F(x)$ 在区间 $\left[-2,4\right]$ 上的最大值为 $M(a)$，当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值.