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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣−1<x<2}A=\{x\mid -1<x<2\}，B={x∣x>1}B=\{x\mid x>1\}，则 A∪B=A\cup B=（ ）.
A.
(−1,1)\left(-1,1\right)
B.
(1,2)\left(1,2\right)
C.
(−1,+∞)\left(-1,+\infty\right)
D.
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)

2019 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=2+iz=2+\mathrm{i}，则 zz‾=z\overline z=（ ）.
A.
3\sqrt3
B.
5\sqrt5
C.
33
D.
55

2019 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)\left(0,+\infty\right) 上单调递增的是（ ）.
A.
y=xy=\sqrt{x}
B.
y=2−xy=2^{-x}
C.
y=log⁡12xy=\log_{\frac12}x
D.
y=1xy=\dfrac1x

2019 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2019 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1（a>0a>0）的离心率是 5\sqrt5，则 a=a=（ ）.
A.
66
B.
44
C.
22
D.
12\dfrac12

2019 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)=cos⁡x+bsin⁡xf(x)=\cos x+b\sin x（bb 为常数），则“b=0b=0”是“f(x)f(x) 为偶函数”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2019 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lg⁡E1E2m_2-m_1=\dfrac52\lg\dfrac{E_1}{E_2}，其中星等为 mkm_k 的星的亮度为 EkE_k（k=1k=1，22）. 已知太阳的星等是 −26.7-26.7，天狼星的星等是 −1.45-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）.
A.
1010.110^{10.1}
B.
10.110.1
C.
lg⁡10.1\lg 10.1
D.
10−10.110^{-10.1}

2019 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是半径为 22 的圆周上的定点，PP 为圆周上的动点，∠APB\angle APB 是锐角，大小为 β\beta. 图中阴影区域的面积的最大值为（ ）.
A.
4β+4cos⁡β4\beta+4\cos\beta
B.
4β+4sin⁡β4\beta+4\sin\beta
C.
2β+2cos⁡β2\beta+2\cos\beta
D.
2β+2sin⁡β2\beta+2\sin\beta

2019 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(−4,3)\boldsymbol{a}=(-4,3)，b=(6,m)\boldsymbol{b}=(6,m)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 x≤2x\le2，y≥−1y\ge-1，4x−3y+1≥04x-3y+1\ge0，则 y−xy-x 的最小值为______，最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
设抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll. 则以 FF 为圆心，且与 ll 相切的圆的方程为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为 11，那么该几何体的体积为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知 ll，mm 是平面 α\alpha 外的两条不同直线. 给出下列三个论断：
① l⊥ml\perp m； ② m∥αm\parallel\alpha； ③ l⊥αl\perp \alpha.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a=3，b−c=2b-c=2，cos⁡B=−12\cos B=-\dfrac12.
(1) 求 bb，cc 的值； (2) 求 sin⁡(B+C)\sin(B+C) 的值.

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

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17概率与统计★★☆☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 10001000 名学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
(1) 估计该校学生中上个月 AA，BB 两种支付方式都使用的人数； (2) 从样本仅使用 BB 的学生中随机抽取 11 人，求该学生上个月支付金额大于 2 0002\,000 元的概率； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用 BB 的学生中随机抽查 11 人，发现他本月的支付金额大于 2 0002\,000 元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 BB 的学生中本月支付金额大于 2 0002\,000 元的人数有变化？说明理由.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 为菱形，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：BD⊥BD\perp 平面 PACPAC； (2) 若 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ，求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PAEPAE； (3) 棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 CF∥CF\parallel 平面 PAEPAE？说明理由.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in\left[-2,4\right] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4]\left[-2,4\right] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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