已知函数 $f(x)=x^3-2x+\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数. 若 $f(a-1)+f(2a^2)\le 0$，则实数 $a$ 的取值范围是______.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(-12,0)$，$B(0,6)$，点 $P$ 在圆 $O:x^2+y^2=50$ 上. 若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\le 20$，则点 $P$ 的横坐标的取值范围是______.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $\dfrac12$，两准线之间的距离为 $8$. 点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，且位于第一象限，过点 $F_1$ 作直线 $PF_1$ 的垂线 $l_1$，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线 $l_2$.

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程； (2) 若直线 $l_1$，$l_2$ 的交点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，求点 $P$ 的坐标.

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $I$ 和正四棱台形玻璃容器 $II$ 的高均为 $32\text{ cm}$，容器 $I$ 的底面对角线 $AC$ 的长为 $10\sqrt7\text{ cm}$，容器 $II$ 的两底面对角线 $EG$，$E_1G_1$ 的长分别为 $14\text{ cm}$ 和 $62\text{ cm}$. 分别在容器 $I$ 和容器 $II$ 中注入水，水深均为 $12\text{ cm}$. 现有一根玻璃棒 $l$，其长度为 $40\text{ cm}$. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）

(1) 将 $l$ 放在容器 $I$ 中，$l$ 的一端置于点 $A$ 处，另一端置于侧棱 $CC_1$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度； (2) 将 $l$ 放在容器 $II$ 中，$l$ 的一端置于点 $E$ 处，另一端置于侧棱 $GG_1$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度.

已知一个口袋有 $m$ 个白球，$n$ 个黑球（$m$，$n\in \mathbf{N}^*$，$n\ge 2$），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 $1$，$2$，$3$，$\ldots$，$m+n$ 的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉（$k=1$，$2$，$3$，$\ldots$，$m+n$）.

(1) 试求编号为 $2$ 的抽屉内放的是黑球的概率 $p$； (2) 随机变量 $X$ 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，$E(X)$ 是 $X$ 的数学期望，证明 $E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}$.