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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2}A=\{1,2\}，B={a,a2+3}B=\{a,a^2+3\}. 若 A∩B={1}A\cap B=\{1\}，则实数 aa 的值为______.

2017 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=(1+i)(1+2i)z=(1+\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 zz 的模是______.

2017 · 江苏 · 第 2 题 · 填空题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某工厂生产甲，乙，丙，丁四种不同型号的产品，产量分别为 200200，400400，300300，100100 件. 为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 6060 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______ 件.

2017 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
如图是一个算法流程图：若输入 xx 的值为 116\dfrac{1}{16}，则输出 yy 的值是______.

2017 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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05三角函数★☆☆☆☆
若 tan⁡ ⁣(α−π4)=16\tan\!\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac16，则 tan⁡α=‾\tan\alpha=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★☆☆☆☆
如图，在圆柱 O1O2O_1O_2 内有一个球 OO，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2O_1O_2 的体积为 V1V_1，球 OO 的体积为 V2V_2，则 V1V2\dfrac{V_1}{V_2} 的值是______.

2017 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
记函数 f(x)=6+x−x2f(x)=\sqrt{6+x-x^2} 的定义域为 DD. 在区间 [−4,5][-4,5] 上随机取一个数 xx，则 x∈Dx\in D 的概率是______.

2017 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 x23−y2=1\dfrac{x^2}{3}-y^2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 PP，QQ，其焦点是 F1F_1，F2F_2，则四边形 F1PF2QF_1PF_2Q 的面积是______.

2017 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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09数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的各项均为实数，其前 nn 项和为 SnS_n，已知 S3=74S_3=\dfrac74，S6=634S_6=\dfrac{63}{4}，则 a8=‾a_8=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
某公司一年购买某种货物 600600 吨，每次购买 xx 吨，运费为 66 万元/次，一年的总存储费用为 4x4x 万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 xx 的值是______.

2017 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−2x+ex−1exf(x)=x^3-2x+\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数. 若 f(a−1)+f(2a2)≤0f(a-1)+f(2a^2)\le 0，则实数 aa 的取值范围是______.

2017 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在同一个平面内，向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 的模分别为 11，11，2\sqrt2，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 α\alpha，且 tan⁡α=7\tan\alpha=7，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 45∘45^\circ. 若 OC→=mOA→+nOB→\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（mm，n∈Rn\in\mathbf{R}），则 m+n=‾m+n=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，A(−12,0)A(-12,0)，B(0,6)B(0,6)，点 PP 在圆 O:x2+y2=50O:x^2+y^2=50 上. 若 PA→⋅PB→≤20\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\le 20，则点 PP 的横坐标的取值范围是______.

2017 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 11 的函数，在区间 [0,1)[0,1) 上，
f(x)={x2,x∈D,x,x∉D,f(x)=\begin{cases} x^2,&x\in D,\\ x,&x\notin D, \end{cases}
其中 D={x∣x=n−1n, n∈N∗}D=\left\{x\mid x=\dfrac{n-1}{n},\ n\in \mathbf{N}^*\right\}，则方程 f(x)−lg⁡x=0f(x)-\lg x=0 的解的个数是______.

2017 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，AB⊥ADAB\perp AD，BC⊥BDBC\perp BD，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，点 EE，FF（EE 与 AA，DD 不重合）分别在棱 ADAD，BDBD 上，且 EF⊥ADEF\perp AD.
求证：
(1) EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) AD⊥ACAD\perp AC.

2017 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\dfrac12，两准线之间的距离为 88. 点 PP 在椭圆 EE 上，且位于第一象限，过点 F1F_1 作直线 PF1PF_1 的垂线 l1l_1，过点 F2F_2 作直线 PF2PF_2 的垂线 l2l_2.
(1) 求椭圆 EE 的标准方程； (2) 若直线 l1l_1，l2l_2 的交点 QQ 在椭圆 EE 上，求点 PP 的坐标.

2017 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 II 和正四棱台形玻璃容器 IIII 的高均为 32 cm32\text{ cm}，容器 II 的底面对角线 ACAC 的长为 107 cm10\sqrt7\text{ cm}，容器 IIII 的两底面对角线 EGEG，E1G1E_1G_1 的长分别为 14 cm14\text{ cm} 和 62 cm62\text{ cm}. 分别在容器 II 和容器 IIII 中注入水，水深均为 12 cm12\text{ cm}. 现有一根玻璃棒 ll，其长度为 40 cm40\text{ cm}. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1) 将 ll 放在容器 II 中，ll 的一端置于点 AA 处，另一端置于侧棱 CC1CC_1 上，求 ll 没入水中部分的长度； (2) 将 ll 放在容器 IIII 中，ll 的一端置于点 EE 处，另一端置于侧棱 GG1GG_1 上，求 ll 没入水中部分的长度.

2017 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★★
对于给定的正整数 kk，若数列 {an}\{a_n\} 满足： an−k+an−k+1+⋯+an−1a_{n-k}+a_{n-k+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n-1} +an+1+⋯+an+k−1+an+k+a_{n+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n+k-1}+a_{n+k} =2kan=2ka_n， 对任意正整数 nn（n>kn>k）总成立，则称数列 {an}\{a_n\} 是“P(k)P(k)数列”.
(1) 证明：等差数列 {an}\{a_n\} 是“P(3)P(3)数列”； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 既是“P(2)P(2)数列”，又是“P(3)P(3)数列”，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2017 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1（a>0a>0，b∈Rb\in\mathbf{R}）有极值，且导函数 f′(x)f'(x) 的极值点是 f(x)f(x) 的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
(1) 求 bb 关于 aa 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b2>3ab^2>3a； (3) 若 f(x)f(x)，f′(x)f'(x) 这两个函数的所有极值之和不小于 −72-\dfrac72，求 aa 的取值范围.

2017 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
，
B=(1002)B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 ABAB； (2) 若曲线 C1:x2+4y2=8C_1:x^2+4y^2=8 在矩阵 ABAB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2C_2，求 C2C_2 的方程.

2017 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=−8+t,y=t2\begin{cases} x=-8+t,\\ y=\dfrac{t}{2} \end{cases}
（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为
{x=2s2,y=22 s\begin{cases} x=2s^2,\\ y=2\sqrt2\,s \end{cases}
（ss 为参数）. 设 PP 为曲线 CC 上的动点，求点 PP 到直线 ll 的距离的最小值.

2017 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AA1⊥AA_1\perp 平面 ABCDABCD，且 AB=AD=2AB=AD=2，AA1=3AA_1=\sqrt3，∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ.
(1) 求异面直线 A1BA_1B 与 AC1AC_1 所成角的余弦值； (2) 求二面角 B−A1D−AB-A_1D-A 的正弦值.

2017 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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