已知直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的侧棱 $AA_1=4\mathrm{~cm}$，它的底面 $\triangle ABC$ 中有 $AC=BC=2\mathrm{~cm}$，$\angle C=90^\circ$，$E$ 是 $AB$ 的中点.

(1) 求证：$CE \perp AB_{1}$. (2) 求证：$CE$ 和 $AB_{1}$ 所在的异面直线的距离等于 $\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{~cm}$. (3) 求截面 $ACB_{1}$ 与侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 所成的二面角的大小（只求其中的锐角，可用反三角函数表示）.

设函数 $f(x)=\log_{3}\left(x^{2}-4mx+4m^{2}+m+\frac{1}{m-1}\right)$，其中 $m$ 是实数，又用 $M$ 表示集合 $\{m \mid m>1\}$.

(1) 求证：当 $m \in M$ 时，$f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义；反之，如果 $f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义，则 $m \in M$. (2) 当 $m \in M$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值. (3) 求证：对每一个 $m \in M$，函数 $f(x)$ 的最小值都不小于 $1$.

已知函数 $f(x)=x^{5}-5x+c$，其中 $c$ 是实数.

(1) 求 $f(x)$ 的极大值和极小值. (2) 证明方程 $f(x)=0$ 的不同实根的个数不大于 $3$.