如图所示，在四面体 $P-ABC$ 中，已知 $PA = BC = 6$，$PC = AB = 10$，$AC = 8$，$PB = 2\sqrt{34}$. $F$ 是线段 $PB$ 上一点，$CF = \frac{15}{17}\sqrt{34}$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且 $EF \perp PB$.

(1) 证明：$PB \perp$ 平面 $CEF$； (2) 求二面角 $B-CE-F$ 的大小.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^2$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$，$B$ 满足 $AO \perp BO$（如图所示）.

(1) 求 $\triangle AOB$ 的重心 $G$（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2) $\triangle AOB$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

箱中装有大小相同的黄，白两种颜色的乒乓球，黄，白乒乓球的数量比为 $s:t$. 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 $n$ 次，以 $\xi$ 表示取球结束时已取到白球的次数.

(1) 求 $\xi$ 的分布列； (2) 求 $\xi$ 的数学期望.

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上满足 $f(2 - x) = f(2 + x)$，$f(7 - x) = f(7 + x)$，且在闭区间 $[0,7]$ 上，只有 $f(1) = f(3) = 0$.

(1) 试判断函数 $y = f(x)$ 的奇偶性； (2) 试求方程 $f(x) = 0$ 在闭区间 $[-2005, 2005]$ 上的根的个数，并证明你的结论.

在平面直角坐标系中，已知矩形 $ABCD$ 的长为 $2$，宽为 $1$，$AB$，$AD$ 边分别在 $x$ 轴，$y$ 轴的正半轴上，$A$ 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $DC$ 上.

(1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$，试写出折痕所在直线的方程； (2) 求折痕的长的最大值.