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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 M={x∣∣x∣⩽2}M = \{x \mid |x| \leqslant 2\}，N={x∣x2−3x=0}N = \{x \mid x^2 - 3x = 0\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{3}\{3\}
B.
{0}\{0\}
C.
{0,2}\{0,2\}
D.
{0,3}\{0,3\}

2005 · 广东 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若 (a−2i)i=b−i(a - 2\mathrm{i})\mathrm{i} = b - \mathrm{i}，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，i\mathrm{i} 是虚数单位，则 a2+b2=a^2 + b^2 =（ ）
A.
00
B.
22
C.
32\frac{3}{2}
D.
55

2005 · 广东 · 第 2 题 · 选择题

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03导数及其应用★☆☆☆☆
lim⁡x→−3x+3x2−9=\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{x + 3}{x^2 - 9} =（ ）
A.
−16-\frac{1}{6}
B.
00
C.
16\frac{1}{6}
D.
13\frac{1}{3}

2005 · 广东 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
已知高为 33 的直棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C' 的底面是边长为 11 的正三角形（如图所示），则三棱锥 B′−ABCB' - ABC 的体积为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
36\frac{\sqrt{3}}{6}
D.
34\frac{\sqrt{3}}{4}

2005 · 广东 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
若焦点在 xx 轴上的椭圆 x22+y2m=1\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{m} = 1 的离心率为 12\frac{1}{2}，则 m=m =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
32\frac{3}{2}
C.
83\frac{8}{3}
D.
23\frac{2}{3}

2005 · 广东 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
函数 f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 是减函数的区间为（ ）
A.
(2,+∞)(2, +\infty)
B.
(−∞,2)(-\infty, 2)
C.
(−∞,0)(- \infty, 0)
D.
(0,2)(0,2)

2005 · 广东 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
给出下列关于互不相同的直线 mm，ll，nn 和平面 α\alpha，β\beta 的四个命题：
① 若 m⊂αm \subset \alpha，l∩α=Al \cap \alpha = A，A∉mA \notin m，则 ll 与 mm 不共面； ② 若 mm，ll 是异面直线，l∥αl \parallel \alpha，m∥αm \parallel \alpha，且 n⊥ln \perp l，n⊥mn \perp m，则 n⊥αn \perp \alpha； ③ 若 l∥αl \parallel \alpha，m∥βm \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l⊂αl \subset \alpha，m⊂αm \subset \alpha，l∩m=Al \cap m = A，l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta.
其中为假命题的是（ ）
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④

2005 · 广东 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 11，22，33，44，55，66），骰子朝上的面的点数分别为 XX，YY，则 log⁡2XY=1\log_{2X}Y = 1 的概率为（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
536\frac{5}{36}
C.
112\frac{1}{12}
D.
12\frac{1}{2}

2005 · 广东 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
在同一平面直角坐标系中，函数 y=f(x)y = f(x) 和 y=g(x)y = g(x) 的图象关于直线 y=xy = x 对称. 现将 y=g(x)y = g(x) 的图象沿 xx 轴向左平移 2 个单位，再沿 yy 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数 f(x)f(x) 的表达式为（ ）
A.
f(x)={2x+2,−1⩽x⩽0,x2+2,0<x⩽2.f(x) = \begin{cases} 2x + 2, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ \frac{x}{2} +2, & 0 < x\leqslant 2. \end{cases}
B.
f(x)={2x−2,−1⩽x⩽0,x2−2,0<x⩽2.f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ \frac{x}{2} -2, & 0 < x\leqslant 2. \end{cases}
C.
f(x)={2x−2,1⩽x⩽2,x2+1,2<x⩽4.f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & 1\leqslant x\leqslant 2,\\ \frac{x}{2} +1, & 2 < x\leqslant 4. \end{cases}
D.
f(x)={2x−6,1⩽x⩽2,x2−3,2<x⩽4.f(x) = \begin{cases} 2x - 6, & 1\leqslant x\leqslant 2,\\ \frac{x}{2} -3, & 2 < x\leqslant 4. \end{cases}

2005 · 广东 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x2=x12x_{2} = \frac{x_{1}}{2}，xn=12(xn−1+xn−2)x_{n} = \frac{1}{2} (x_{n - 1} + x_{n - 2})，n=3n = 3，44，…\dots. 若 lim⁡n→∞xn=2\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n} = 2，则 x1=x_{1} =（ ）
A.
32\frac{3}{2}
B.
33
C.
44
D.
55

2005 · 广东 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=11−exf(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}} 的定义域是______.

2005 · 广东 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,3)\boldsymbol{a} = (2,3)，b=(x,6)\boldsymbol{b} = (x,6)，且 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 x=‾x =\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 广东 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (xcos⁡θ+1)5(x\cos \theta + 1)^5 的展开式中 x2x^2 的系数与 (x+54)4\left(x + \frac{5}{4}\right)^4 的展开式中 x3x^3 的系数相等，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 广东 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
设平面内有 nn 条直线（n⩾3n \geqslant 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点. 若用 f(n)f(n) 表示这 nn 条直线交点的个数，则 f(4)=f(4)=______；当 n>4n>4 时，f(n)=f(n)=______（用 nn 表示）.

2005 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
化简 f(x)=cos⁡(6k+13π+2x)+cos⁡(6k−13π−2x)+23sin⁡(π3+2x)f(x) = \cos\left( \frac{6k + 1}{3} \pi + 2x \right) + \cos\left( \frac{6k - 1}{3} \pi - 2x \right) + 2\sqrt{3} \sin\left( \frac{\pi}{3} + 2x \right)（x∈Rx \in \mathbf{R}，k∈Zk \in \mathbf{Z}），并求函数 f(x)f(x) 的值域和最小正周期.

2005 · 广东 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图所示，在四面体 P−ABCP-ABC 中，已知 PA=BC=6PA = BC = 6，PC=AB=10PC = AB = 10，AC=8AC = 8，PB=234PB = 2\sqrt{34}. FF 是线段 PBPB 上一点，CF=151734CF = \frac{15}{17}\sqrt{34}，点 EE 在线段 ABAB 上，且 EF⊥PBEF \perp PB.
(1) 证明：PB⊥PB \perp 平面 CEFCEF； (2) 求二面角 B−CE−FB-CE-F 的大小.

2005 · 广东 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，抛物线 y=x2y = x^2 上异于坐标原点 OO 的两不同动点 AA，BB 满足 AO⊥BOAO \perp BO（如图所示）.
(1) 求 △AOB\triangle AOB 的重心 GG（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2) △AOB\triangle AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2005 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★★☆
箱中装有大小相同的黄，白两种颜色的乒乓球，黄，白乒乓球的数量比为 s:ts:t. 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 nn 次，以 ξ\xi 表示取球结束时已取到白球的次数.
(1) 求 ξ\xi 的分布列； (2) 求 ξ\xi 的数学期望.

2005 · 广东 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上满足 f(2−x)=f(2+x)f(2 - x) = f(2 + x)，f(7−x)=f(7+x)f(7 - x) = f(7 + x)，且在闭区间 [0,7][0,7] 上，只有 f(1)=f(3)=0f(1) = f(3) = 0.
(1) 试判断函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性； (2) 试求方程 f(x)=0f(x) = 0 在闭区间 [−2005,2005][-2005, 2005] 上的根的个数，并证明你的结论.

2005 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCDABCD 的长为 22，宽为 11，ABAB，ADAD 边分别在 xx 轴，yy 轴的正半轴上，AA 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使 AA 点落在线段 DCDC 上.
(1) 若折痕所在直线的斜率为 kk，试写出折痕所在直线的方程； (2) 求折痕的长的最大值.

2005 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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