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16函数与初等函数★★★★☆
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集. 如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x)\mid x\in S\}； ② 对任意 x1x_{1}，x2∈Sx_{2} \in S，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_{1}) < f(x_{2})，
那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下 3 对集合：
① A=NA = \mathbf{N}，B=N∗;B = \mathbf{N}^{*}; ② A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}，B={x∣−8⩽x⩽10}B = \{x\mid -8\leqslant x\leqslant 10\}； ③ A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}，B=RB = \mathbf{R}.
其中，“保序同构”的集合对的序号是______. （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
\begin{answer} \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3} \end{answer}
\begin{solution} 对第\circled1\circled{1}对集合，按 N={0,1,2,…}\mathbf{N}=\{0,1,2,\ldots\}、N∗={1,2,3,…}\mathbf{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\} 取 f(x)=x+1f(x)=x+1. 该函数严格递增，且值域为 N∗\mathbf{N}^{*}，所以第\circled1\circled{1}对保序同构.
对第\circled2\circled{2}对集合，取
f(x)=92(x+1)−8=92x−72f(x)=\frac92(x+1)-8=\frac92x-\frac72
它把 [−1,3][-1,3] 的两个端点分别映为 −8,10-8,10，并且斜率为正，所以严格递增且值域为 [−8,10][-8,10]，第\circled2\circled{2}对保序同构.
对第\circled3\circled{3}对集合，取 f(x)=tan⁡(πx−π2)f(x)=\tan\left(\pi x-\frac\pi2\right)，0<x<10<x<1. 该函数在 (0,1)(0,1) 上严格递增，且当 x→0+x\to0^+ 时 f(x)→−∞f(x)\to-\infty，当 x→1−x\to1^- 时 f(x)→+∞f(x)\to+\infty，值域为 R\mathbf{R}，所以第\circled3\circled{3}对也保序同构. 因此应填 \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 E:y2=4xE: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，准线 ll 与 xx 轴的交点为 AA. 点 CC 在抛物线 EE 上. 以 CC 为圆心，∣CO∣|CO| 为半径作圆，设圆 CC 与准线 ll 交于不同的两点 MM，NN.
(1) 若点 CC 的纵坐标为 2，求 ∣MN∣\left|MN\right|； (2) 若 ∣AF∣2=∣AM∣⋅∣AN∣\left|AF\right|^{2}=\left|AM\right|\cdot\left|AN\right|，求圆 CC 的半径.

2013 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，在等腰直角 △OPQ\triangle OPQ 中，∠POQ=90∘\angle POQ = 90^{\circ}，OP=22OP = 2\sqrt{2}，点 MM 在线段 PQPQ 上.
(1) 若 OM=5OM = \sqrt{5}，求 PMPM 的长； (2) 若点 NN 在线段 MQMQ 上，且 ∠MON=30∘\angle MON = 30^{\circ}，问：当 ∠POM\angle POM 取何值时，△OMN\triangle OMN 的面积最小？ 并求出面积的最小值.

2013 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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