如图，已知二面角 $\alpha - PQ - \beta$ 为 $60^{\circ}$，点 $A$ 和点 $B$ 分别在平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 上，点 $C$ 在棱 $PQ$ 上，$\angle ACP = \angle BCP = 30^{\circ}$，$CA = CB = a$.

(1) 求证 $AB \perp PQ$. (2) 求点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离. (3) 设 $R$ 是线段 $CA$ 上的一点，直线 $BR$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $45^{\circ}$，求线段 $CR$ 的长度.

设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n = na + n(n - 1)b$（$n = 1$，$2$，$\cdots$），$a$，$b$ 是常数且 $b \neq 0$.

(1) 证明 $\{a_n\}$ 是等差数列. (2) 证明以 $\left(a_n, \frac{S_n}{n} - 1\right)$ 为坐标的点 $P_n$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3) 设 $a = 1$，$b = \frac{1}{2}$，$C$ 是以 $(r,r)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆（$r > 0$）. 求使得点 $P_1$，$P_2$，$P_3$ 都落在圆 $C$ 外时，$r$ 的取值范围.