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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2−2x+3y = x^2 - 2x + 3 的最小值是______.

1993 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡2(ωx)y = \cos^2(\omega x)（ω>0\omega > 0）的最小正周期是______.

1993 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
设 z=cos⁡7π5+isin⁡7π5z = \cos \frac{7\pi}{5} + \mathrm{i} \sin \frac{7\pi}{5}，i\mathrm{i} 是虚数单位，则 zz 的辐角主值是______.

1993 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
1 名1\text{ 名}老师和4 名4\text{ 名}获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同排法______种\text{种}（结果用数值表示）.

1993 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=arccos⁡xy = \arccos x（−1⩽x⩽0-1 \leqslant x \leqslant 0）的反函数是______.

1993 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
PP 点分 AB‾\overline{AB} 所成的比是 −3-3，则 BB 点分 AP‾\overline{AP} 所成的比是______.

1993 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台的上、下底面半径分别是 10 cm10 \mathrm{~cm} 和 20 cm20 \mathrm{~cm}，它的侧面展开后所得扇环的圆心角是 180∘180^{\circ}，那么圆台的侧面积是______ cm2\mathrm{cm}^{2}（结果中保留 π\pi）.

1993 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\}（an∈Ra_n \in \mathbf{R}），a1+a2=9a_1 + a_2 = 9，a1⋅a2⋅a3=27a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 27，且 Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots），则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =______.

1993 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，过点 M(2,π2)M\left(2, \frac{\pi}{2}\right) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是______.

1993 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，过顶点 BB，DD，C1C_1 作截面，则二面角 B−DC1−CB - DC_1 - C 的大小是______（用反三角函数表示）.

1993 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=x+ay = x + a 与 y=log⁡axy = \log_a x 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

1993 · 上海 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1)9(x - 1)^{9} 按 xx 降幂排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A.
第4项和第5项
B.
第5项
C.
第5项和第6项
D.
第6项

1993 · 上海 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数的是（ ）
A.
y=arccot⁡xy = \operatorname{arccot} x
B.
y=log⁡12xy = \log_{\frac{1}{2}} x
C.
y=−2xy = -2^{x}
D.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}

1993 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14三角函数★★★☆☆
下列不等式中正确的是（ ）
A.
arcsin⁡(−14)<arcsin⁡(−13)\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right) < \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right)
B.
arccos⁡(−14)<arccos⁡13\arccos \left(-\frac{1}{4}\right) < \arccos \frac{1}{3}
C.
arctan⁡14<arcsin⁡14\arctan \frac{1}{4} < \arcsin \frac{1}{4}
D.
arccot⁡13<arctan⁡13\operatorname{arccot} \frac{1}{3} < \arctan \frac{1}{3}

1993 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★☆☆☆
动点 PP 到直线 x+4=0x + 4 = 0 的距离减去它到点 M(2,0)M(2,0) 的距离之差等于22，则点 PP 的轨迹是（ ）
A.
直线
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线

1993 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★☆☆☆
设有三个命题：
① 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ② 底面是矩形的平行六面体是长方体； ③ 直四棱柱是直平行六面体.
以上命题中真命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

1993 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17平面向量★☆☆☆☆
在直角坐标系中平移坐标轴，把原点 O(0,0)O(0,0) 移到 O′(2,−5)O'(2,-5)，点 AA 在新坐标系中的坐标为 (−3,7)(-3,7)，则点 AA 在原坐标系中的坐标是（ ）
A.
(−1,2)(-1,2)
B.
(1,−2)(1,-2)
C.
(−5,12)(-5,12)
D.
(5,−12)(5,-12)

1993 · 上海 · 第 17 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
设 aa，bb 是两条异面直线. 在下列命题中正确的是（ ）
A.
有且仅有一条直线与 aa，bb 都垂直
B.
有一平面与 aa，bb 都垂直
C.
过直线 aa 有且仅有一平面与 bb 平行
D.
过空间中任一点必可作一条直线与 aa，bb 都相交

1993 · 上海 · 第 18 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) 的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}
B.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
C.
x=π8x = \frac{\pi}{8}
D.
x=πx = \pi

1993 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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20集合与逻辑基础★☆☆☆☆
a+b>2ca + b > 2c 的一个充分条件是（ ）
A.
a>ca > c 或 b>cb > c
B.
a>ca > c 且 b<cb < c
C.
a>ca > c 且 b>cb > c
D.
a>ca > c 或 b<cb < c

1993 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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21三角函数★★☆☆☆
已知角 α\alpha 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 xx 轴的正半轴上，终边经过点 P(−1,2)P(-1,2)，求 sin⁡(2α+2π3)\sin \left(2\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) 的值.

1993 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★★☆☆
已知 z=a−i1−iz = \frac{a - \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，a>0a > 0，复数 w=z(z+i)w = z(z + \mathrm{i}) 的虚部减去它的实部所得的差等于 32\frac{3}{2}，求复数 ww 的模.

1993 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
抛物线 y=−x22y = -\frac{x^2}{2} 与过点 M(0,−1)M(0,-1) 的直线 ll 相交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若直线 OAOA 与 OBOB 的斜率之和为 11，求直线 ll 的方程.

1993 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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24立体几何初步★★★★☆
如图，已知二面角 α−PQ−β\alpha - PQ - \beta 为 60∘60^{\circ}，点 AA 和点 BB 分别在平面 α\alpha 和平面 β\beta 上，点 CC 在棱 PQPQ 上，∠ACP=∠BCP=30∘\angle ACP = \angle BCP = 30^{\circ}，CA=CB=aCA = CB = a.
(1) 求证 AB⊥PQAB \perp PQ. (2) 求点 BB 到平面 α\alpha 的距离. (3) 设 RR 是线段 CACA 上的一点，直线 BRBR 与平面 α\alpha 所成角的大小为 45∘45^{\circ}，求线段 CRCR 的长度.

1993 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=na+n(n−1)bS_n = na + n(n - 1)b（n=1n = 1，22，⋯\cdots），aa，bb 是常数且 b≠0b \neq 0.
(1) 证明 {an}\{a_n\} 是等差数列. (2) 证明以 (an,Snn−1)\left(a_n, \frac{S_n}{n} - 1\right) 为坐标的点 PnP_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3) 设 a=1a = 1，b=12b = \frac{1}{2}，CC 是以 (r,r)(r,r) 为圆心，rr 为半径的圆（r>0r > 0）. 求使得点 P1P_1，P2P_2，P3P_3 都落在圆 CC 外时，rr 的取值范围.

1993 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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