设抛物线 （$t$ 为参数，$p>0$） 的焦点为 $F$，准线为 $l$. 过抛物线上一点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$. 设 $C\left(\dfrac72p,0\right)$，$AF$ 与 $BC$ 相交于点 $E$. 若 $\lvert CF\rvert=2\lvert AF\rvert$，且 $\triangle ACE$ 的面积为 $3\sqrt2$，则 $p$ 的值为______.

如图，正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$，四边形 $OBEF$ 为矩形，平面 $OBEF\perp$ 平面 $ABCD$，点 $G$ 为 $AB$ 的中点，$AB=BE=2$.

(1) 求证：$EG\parallel$ 平面 $ADF$； (2) 求二面角 $O-EF-C$ 的正弦值； (3) 设 $H$ 为线段 $AF$ 上的点，且 $AH=\dfrac23HF$，求直线 $BH$ 和平面 $CEF$ 所成角的正弦值.

已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 $d$，对任意的 $n\in\mathbf{N}^*$，$b_n$ 是 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的等比中项.

(1) 设 $c_n=b_{n+1}^2-b_n^2$（$n\in\mathbf{N}^*$），求证：数列 $\{c_n\}$ 是等差数列； (2) 设 $a_1=d$，$T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k b_k^2$（$n\in\mathbf{N}^*$），求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{T_k}<\dfrac1{2d^2}$.