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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4}A=\{1,2,3,4\}，B={y∣y=3x−2, x∈A}B=\{y\mid y=3x-2,\ x\in A\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{1}\{1\}
B.
{4}\{4\}
C.
{1,3}\{1,3\}
D.
{1,4}\{1,4\}

2016 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+2≥0,2x+3y−6≥0,3x+2y−9≤0,\begin{cases} x-y+2\ge 0,\\ 2x+3y-6\ge 0,\\ 3x+2y-9\le 0, \end{cases}
则目标函数 z=2x+5yz=2x+5y 的最小值为（ ）
A.
−4-4
B.
66
C.
1010
D.
1717

2016 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 AB=13AB=\sqrt{13}，BC=3BC=3，∠C=120∘\angle C=120^\circ，则 AC=AC=（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2016 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2016 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等比数列，公比为 qq，则“q<0q<0”是“对任意的正整数 nn，a2n−1+a2n<0a_{2n-1}+a_{2n}<0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x24−y2b2=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 AA，BB，CC，DD 四点，四边形 ABCDABCD 的面积为 2b2b，则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−3y24=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{3y^2}{4}=1
B.
x24−4y23=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{4y^2}{3}=1
C.
x24−y24=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}=1
D.
x24−y212=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1

2016 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 11 的等边三角形，点 DD，EE 分别是边 ABAB，BCBC 的中点，连接 DEDE 并延长到点 FF，使得 DE=2EFDE=2EF，则 AF→⋅BC→\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC} 的值为（ ）
A.
−85-\dfrac85
B.
18\dfrac18
C.
14\dfrac14
D.
118\dfrac{11}{8}

2016 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0,f(x)=\begin{cases} x^2+(4a-3)x+3a,&x<0,\\ \log_a(x+1)+1,&x\ge 0, \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x\lvert f(x)\rvert=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0,\dfrac23\right]
B.
[23,34]\left[\dfrac23,\dfrac34\right]
C.
[13,23]∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right]\cup\left\{\dfrac34\right\}
D.
[13,23)∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right)\cup\left\{\dfrac34\right\}

2016 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 是虚数单位，若 (1+i)(1−bi)=a(1+\mathrm{i})(1-b\mathrm{i})=a，则 ab\dfrac{a}{b} 的值为______.

2016 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−1x)8\left(x^2-\dfrac1x\right)^8 的展开式中 x7x^7 的系数为______（用数字作答）.

2016 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★☆☆☆
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m\mathrm{m}），则该四棱锥的体积为______m3\mathrm{m}^3.

2016 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆的直径，弦 CDCD 与 ABAB 相交于点 EE，BE=2AE=2BE=2AE=2，BD=EDBD=ED，则线段 CECE 的长为______.

2016 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递增. 若实数 aa 满足 f(2∣a−1∣)>f(−2)f\left(2^{\lvert a-1\rvert}\right)>f\left(-\sqrt2\right)，则 aa 的取值范围是______.

2016 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
设抛物线
{x=2pt2,y=2pt,\begin{cases} x=2pt^2,\\ y=2pt, \end{cases}
（tt 为参数，p>0p>0） 的焦点为 FF，准线为 ll. 过抛物线上一点 AA 作 ll 的垂线，垂足为 BB. 设 C(72p,0)C\left(\dfrac72p,0\right)，AFAF 与 BCBC 相交于点 EE. 若 ∣CF∣=2∣AF∣\lvert CF\rvert=2\lvert AF\rvert，且 △ACE\triangle ACE 的面积为 323\sqrt2，则 pp 的值为______.

2016 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4tan⁡xsin⁡(π2−x)cos⁡(x−π3)−3f(x)=4\tan x\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)-\sqrt3.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域与最小正周期； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 [−π4,π4]\left[-\dfrac\pi4,\dfrac\pi4\right] 上的单调性.

2016 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某小组共 1010 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 11，22，33 的人数分别为 33，33，44. 现从这 1010 人中随机选出 22 人作为该组代表参加座谈会.
(1) 设 AA 为事件“选出的 22 人参加义工活动次数之和为 44”，求事件 AA 发生的概率； (2) 设 XX 为选出的 22 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2016 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 的中心为 OO，四边形 OBEFOBEF 为矩形，平面 OBEF⊥OBEF\perp 平面 ABCDABCD，点 GG 为 ABAB 的中点，AB=BE=2AB=BE=2.
(1) 求证：EG∥EG\parallel 平面 ADFADF； (2) 求二面角 O−EF−CO-EF-C 的正弦值； (3) 设 HH 为线段 AFAF 上的点，且 AH=23HFAH=\dfrac23HF，求直线 BHBH 和平面 CEFCEF 所成角的正弦值.

2016 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等差数列，公差为 dd，对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，bnb_n 是 ana_n 和 an+1a_{n+1} 的等比中项.
(1) 设 cn=bn+12−bn2c_n=b_{n+1}^2-b_n^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：数列 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 设 a1=da_1=d，Tn=∑k=12n(−1)kbk2T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k b_k^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：∑k=1n1Tk<12d2\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{T_k}<\dfrac1{2d^2}.

2016 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于点 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH. 若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA≤∠MAO\angle MOA\le\angle MAO，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−1)3−ax−bf(x)=(x-1)^3-ax-b（x∈Rx\in\mathbf{R}，其中 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 存在极值点 x0x_0，且 f(x1)=f(x0)f(x_1)=f(x_0)，其中 x1≠x0x_1\neq x_0，求证：x1+2x0=3x_1+2x_0=3； (3) 设 a>0a>0，函数 g(x)=∣f(x)∣g(x)=\lvert f(x)\rvert，求证：g(x)g(x) 在区间 [0,2][0,2] 上的最大值不小于 14\dfrac14.

2016 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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