设 $f(x) = \mathrm{e}^{x}(ax^{2} + x + 1)$，且曲线 $y = f(x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1) 求 $a$ 的值，并讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 证明：当 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$|f(\cos \theta) - f(\sin \theta)| < 2$.

已知椭圆 $C$ 过点 $A\left(1, \frac{3}{2}\right)$，两个焦点为 $(-1, 0)$，$(1, 0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) $E$，$F$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，如果直线 $AE$ 的斜率与 $AF$ 的斜率互为相反数，证明直线 $EF$ 的斜率为定值. 并求出这个定值.