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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x⩽5}M = \{x \mid -3 < x \leqslant 5\}，N={x∣x<−5 或 x>5}N = \{x \mid x < -5\text{ 或 }x > 5\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
{x∣x<−5 或 x>−3}\{x\mid x < -5\text{ 或 }x > -3\}
B.
{x∣−5<x<5}\{x\mid -5 < x < 5\}
C.
{x∣−3<x<5}\{x\mid -3 < x < 5\}
D.
{x∣x<−3 或 x>5}\{x\mid x < -3\text{ 或 }x > 5\}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1−2iz = 1 - 2\mathrm{i}，那么 1z=\frac{1}{z} =（ ）
A.
55+255i\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}
B.
55−255i\frac{\sqrt{5}}{5} -\frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}
C.
15+25i\frac{1}{5} +\frac{2}{5}\mathrm{i}
D.
15−25i\frac{1}{5} -\frac{2}{5}\mathrm{i}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★☆☆☆☆
{an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a7−2a4=−1a_7 - 2a_4 = -1，a3=0a_3 = 0，则公差 d=d = （ ）
A.
−2-2
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
22

2009 · 辽宁 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
平面向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，a=(2,0)\boldsymbol{a} = (2, 0)，∣b∣=1|\boldsymbol{b}| = 1，则 ∣a+2b∣=|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
232 \sqrt{3}
C.
44
D.
1212

2009 · 辽宁 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★☆☆☆☆
如果把地球看成一个球体，则地球上北纬 60∘60^{\circ} 纬线和赤道线长的比值为（ ）
A.
0.80.8
B.
0.750.75
C.
0.50.5
D.
0.250.25

2009 · 辽宁 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x⩾4x \geqslant 4 时，f(x)=(12)xf(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x；当 x<4x < 4 时，f(x)=f(x+1)f(x) = f(x + 1). 则 f(2+log⁡23)=f(2 + \log_2 3) =（ ）
A.
124\frac{1}{24}
B.
112\frac{1}{12}
C.
18\frac{1}{8}
D.
38\frac{3}{8}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 与直线 x−y=0x - y = 0 及 x−y−4=0x - y - 4 = 0 都相切，圆心在直线 x+y=0x + y = 0 上，则圆 CC 的方程为（ ）
A.
(x+1)2+(y−1)2=2(x + 1)^2 +(y - 1)^2 = 2
B.
(x−1)2+(y+1)2=2(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2
C.
(x−1)2+(y−1)2=2(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2
D.
(x+1)2+(y+1)2=2(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2

2009 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡θ=2\tan \theta = 2，则 sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ−2cos⁡2θ=\sin^2\theta + \sin \theta \cos \theta - 2\cos^2\theta =（ ）
A.
−43-\frac{4}{3}
B.
54\frac{5}{4}
C.
−34-\frac{3}{4}
D.
45\frac{4}{5}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
ABCDABCD 为长方形，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，OO 为 ABAB 的中点. 在长方形 ABCDABCD 内随机取一点，取到的点到 OO 的距离大于 11 的概率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
1−π41 - \frac{\pi}{4}
C.
π8\frac{\pi}{8}
D.
1−π81 - \frac{\pi}{8}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
某店一个月的收入和支出总共记录了 NN 个数据 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N，其中收入记为正数. 支出记为负数. 该店用下边的程序框图计算月总收入 SS 和月净盈利 VV，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）
A.
A>0A > 0，V=S−TV = S - T
B.
A<0A < 0，V=S−TV = S - T
C.
A>0A > 0，V=S+TV = S + T
D.
A<0A < 0，V=S+TV = S + T

2009 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
下列 44 个命题：
① p1p_1：∃x∈(0,+∞)\exists x \in (0, +\infty)，(12)x<(13)x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{3}\right)^x； ② p2p_2：∃x∈(0,1)\exists x \in (0,1)，log⁡12x>log⁡13x\log_{\frac12} x > \log_{\frac13} x； ③ p3p_3：∀x∈(0,+∞)\forall x \in (0, +\infty)，(12)x>log⁡12x\left(\frac{1}{2}\right)^x > \log_{\frac12} x； ④ p4p_4：∀x∈(0,13)\forall x \in \left(0,\frac{1}{3}\right)，(12)x<log⁡13x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \log_{\frac13} x.
其中的真命题是（ ）
A.
p1p_1，p3p_3
B.
p1p_1，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p2p_2，p4p_4

2009 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知偶函数 f(x)f(x) 在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 单调增加，则满足 f(2x−1)<f(13)f(2x - 1) < f\left(\frac{1}{3}\right) 的 xx 取值范围是（ ）
A.
(13,23)\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
B.
[13,23)\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
C.
(12,23)\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)
D.
[12,23)\left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)

2009 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，四边形 ABCDABCD 的边 AB∥DCAB\parallel DC，AD∥BCAD\parallel BC. 已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(6,8)B(6,8)，C(8,6)C(8,6)，则 DD 点的坐标为______.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi) （ω>0\omega > 0）的图象如图所示，则 ω=\omega =______.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★☆☆☆
若函数 f(x)=x2+ax+1f(x) = \frac{x^2 + a}{x + 1} 在 x=1x = 1 处取极值，则 a=a =______.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★☆☆☆
设某几何体的三视图如下 （尺寸的长度单位为 m\mathrm{m}）. 则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^{3}.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 S1S_{1}，S3S_{3}，S2S_{2} 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的公比 qq； (2) 若 a1−a3=3a_{1} - a_{3} = 3，求 SnS_{n}.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，AA，BB，CC，DD 都在同一个与水平面垂直的平面内，BB，DD 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 AA 处测得 BB 点和 DD 点的仰角分别为 75∘75^{\circ}，30∘30^{\circ}，于水面 CC 处测得 BB 点和 DD 点的仰角均为 60∘60^{\circ}，AC=0.1 kmAC = 0.1 \mathrm{~km}. 试探究图中 BB，DD 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求出 BB，DD 的距离. （计算结果精确到 0.01 km0.01 \mathrm{~km}，2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414，6≈2.449\sqrt{6} \approx 2.449）

2009 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，已知两个正方形 ABCDABCD 和 DCEFDCEF 不在同一平面内，MM，NN 分别为 ABAB，DFDF 的中点.
(1) 若 CD=2CD = 2，平面 ABCD⊥ABCD \perp 平面 DCEFDCEF，求直线 MNMN 的长； (2) 用反证法证明：直线 MEME 与 BNBN 是两条异面直线.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸 （单位：mm\mathrm{mm}） 的值落在 [29.94,30.06][29.94, 30.06] 的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出 500500 件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂乙厂
| \begin{tabular}{|c|c|}
分组 | 频数 | | [29.90,29.94)[29.90,29.94) | 6363 | | [29.84,29.98)[29.84,29.98) | 8686 | | [29.98,30.02)[29.98,30.02) | 182182 | | [30.02,30.06)[30.02,30.06) | 9292 | | [30.06,30.10)[30.06,30.10) | 6161 | | [30.10,30.14)[30.10,30.14) | 44 | | [29.90,29.94)[29.90,29.94) | 7171 | | [29.84,29.98)[29.84,29.98) | 8585 | | [29.98,30.02)[29.98,30.02) | 159159 | | [30.02,30.06)[30.02,30.06) | 7676 | | [30.06,30.10)[30.06,30.10) | 6262 | | [30.10,30.14)[30.10,30.14) | 1818 |
(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2) 由于以上统计数据填下面 2×22 \times 2 列联表，并问是否有 99%99\% 的把握认为 “两个分厂生产的零件的质量有差异”.
附：χ2=n(n11n22−n12n21)2n1+n2+n+1n+2\chi^2 = \frac{n(n_{11}n_{22} - n_{12}n_{21})^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}，
P(χ2⩾k)P(\chi^2 \geqslant k)0.050.050.010.01

2009 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ex(ax2+x+1)f(x) = \mathrm{e}^{x}(ax^{2} + x + 1)，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在 x=1x = 1 处的切线与 xx 轴平行.
(1) 求 aa 的值，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 θ∈[0,π2]\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，∣f(cos⁡θ)−f(sin⁡θ)∣<2|f(\cos \theta) - f(\sin \theta)| < 2.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 过点 A(1,32)A\left(1, \frac{3}{2}\right)，两个焦点为 (−1,0)(-1, 0)，(1,0)(1, 0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) EE，FF 是椭圆 CC 上的两个动点，如果直线 AEAE 的斜率与 AFAF 的斜率互为相反数，证明直线 EFEF 的斜率为定值. 并求出这个定值.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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