如图所示， $A$，$F$ 分别是椭圆 $\frac{(y + 1)^2}{16} +\frac{(x - 1)^2}{12} = 1$ 的一个顶点与一个焦点，位于 $x$ 轴的正半轴上的动点 $T(t,0)$ 与 $F$ 的连线交射线 $OA$ 于 $Q$. 求：

(1) 点 $A$，$F$ 的坐标及直线 $TQ$ 的方程； (2) $\triangle OTQ$ 的面积 $S$ 与 $t$ 的函数关系式 $S = f(t)$ 及该函数的最小值； (3) 写出 $S = f(t)$ 的单调递增区间，并证明之.