已知 $\triangle ABC$ 的三个内角的大小成等差数列，$\tan A\tan C=2+\sqrt{3}$，求角 $A$，$B$，$C$ 的大小. 又已知顶点 $C$ 的对边 $c$ 上的高等于 $4\sqrt{3}$，求三角形各边 $a$，$b$，$c$ 的长. （提示：必要时可验证 $(1+\sqrt{3})^{2}=4+2\sqrt{3}$）

已知 $\alpha$，$\beta$ 为锐角，$3\sin^{2}\alpha+2\sin^{2}\beta=1$，$3\sin2\alpha-2\sin2\beta=0$. 求证：$\alpha+2\beta=\dfrac{\pi}{2}$.

已知函数 $y=x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-1$（$m$ 为实数）.

(1) $m$ 是什么数值时，$y$ 的极值是 $0$？ (2) 求证：不论 $m$ 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 $L_{1}$ 上，画出 $m=-1$，$m=0$，$m=1$ 时抛物线的草图，来检验这个结论； (3) 平行于 $L_{1}$ 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于 $L_{1}$ 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.