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01函数与初等函数★★☆☆☆
(1) 分解因式：x2−4xy+4y2−4z2x^{2}-4xy+4y^{2}-4z^{2}. (2) 已知正方形的边长为 aa，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积. (3) 求函数 y=lg⁡(2+x)y=\sqrt{\lg(2+x)} 的定义域. (4) 不查表求 cos⁡80∘cos⁡35∘+cos⁡10∘cos⁡55∘\cos80^{\circ}\cos35^{\circ}+\cos10^{\circ}\cos55^{\circ} 的值. (5) 化简：(14)−12⋅(4ab−1)3(0.1)−2(a3b−4)12\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{4ab^{-1}}\right)^{3}}{(0.1)^{-2}\left(a^{3}b^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}}.

1978 · 全国 · 第 1 题 · 解答题

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02解析几何★★★☆☆
已知方程 kx2+y2=4kx^{2}+y^{2}=4，其中 kk 为实数. 对于不同范围的 kk 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图.

1978 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 是半圆的直径，CC 是半圆上一点，直线 MNMN 切半圆于 CC 点，AM⊥MNAM\perp MN 于 MM 点，BN⊥MNBN\perp MN 于 NN 点，CD⊥ABCD\perp AB 于 DD 点，求证：
(1) CD=CM=CNCD=CM=CN； (2) CD2=AM⋅BNCD^{2}=AM\cdot BN.

1978 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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04指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 log⁡189=a\log_{18}9=a，18b=518^{b}=5，求 log⁡3645\log_{36}45.

1978 · 全国 · 第 4 题 · 解答题

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05三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三个内角的大小成等差数列，tan⁡Atan⁡C=2+3\tan A\tan C=2+\sqrt{3}，求角 AA，BB，CC 的大小. 又已知顶点 CC 的对边 cc 上的高等于 434\sqrt{3}，求三角形各边 aa，bb，cc 的长. （提示：必要时可验证 (1+3)2=4+23(1+\sqrt{3})^{2}=4+2\sqrt{3}）

1978 · 全国 · 第 5 题 · 解答题

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06三角函数★★★★☆
已知 α\alpha，β\beta 为锐角，3sin⁡2α+2sin⁡2β=13\sin^{2}\alpha+2\sin^{2}\beta=1，3sin⁡2α−2sin⁡2β=03\sin2\alpha-2\sin2\beta=0. 求证：α+2β=π2\alpha+2\beta=\dfrac{\pi}{2}.

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07函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2−1y=x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-1（mm 为实数）.
(1) mm 是什么数值时，yy 的极值是 00？ (2) 求证：不论 mm 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 L1L_{1} 上，画出 m=−1m=-1，m=0m=0，m=1m=1 时抛物线的草图，来检验这个结论； (3) 平行于 L1L_{1} 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于 L1L_{1} 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

1978 · 全国 · 第 7 题 · 解答题

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