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07数列★★★★☆
若 aa 是 1+2b1 + 2b 与 1−2b1 - 2b 的等比中项，则 2ab∣a∣+2∣b∣\frac{2ab}{|a| + 2|b|} 的最大值为（ ）
A.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
B.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2007 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，∣AB→∣+∣BD→∣+∣DC→∣=4\left|\overrightarrow{AB}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4，∣AB→∣⋅∣BD→∣+∣BD→∣⋅∣DC→∣=4\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4，AB→⋅BD→=BD→⋅DC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{DC} = 0，则 (AB→+DC→)⋅AC→\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\right) \cdot \overrightarrow{AC} 的值为（ ）
A.
22
B.
222 \sqrt{2}
C.
44
D.
424 \sqrt{2}

2007 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
过双曲线 x2−y2=4x^{2}-y^{2}=4 的右焦点 FF 作倾斜角为 105∘105^{\circ} 的直线，交双曲线于 PP，QQ 两点，则 ∣FP∣⋅∣FQ∣|FP| \cdot |FQ| 的值为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AA1=2AA_{1} = 2，AB=1AB = 1，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}；点 DD，EE 分别在 BB1BB_{1}，A1DA_{1}D 上，且 B1E⊥A1DB_{1}E \perp A_{1}D，四棱锥 C−ABDA1C - ABDA_{1} 与直三棱柱的体积之比为 3:53:5.
(1) 求异面直线 DEDE 与 B1C1B_{1}C_{1} 的距离； (2) 若 BC=2BC = \sqrt{2}，求二面角 A1−DC1−B1A_{1} - DC_{1} - B_{1} 的平面角的正切值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax4ln⁡x+bx4−cf(x) = ax^{4}\ln x + bx^{4} - c（x>0x > 0）在 x=1x = 1 处取得极值 −3−c-3 - c，其中 aa，bb，cc 为常数.
(1) 试确定 aa，bb 的值； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若对任意 x>0x > 0，不等式 f(x)⩾−2c2f(x) \geqslant -2c^{2} 恒成立，求 cc 的取值范围.

2007 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 S1>1S_{1} > 1，且 6Sn=(an+1)(an+2)6S_{n} = (a_{n} + 1)(a_{n} + 2)，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 an(2bn−1)=1a_{n}(2^{b_{n}}-1)=1，并记 TnT_{n} 为 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和，求证： 3Tn+1>log⁡2(an+3)3T_{n}+1>\log_{2}(a_{n}+3)，n∈N+n\in\mathbf{N}_{+}.

2007 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，中心在原点 OO 的椭圆的右焦点为 F(3,0)F(3,0)，右准线 ll 的方程为：x=12x = 12.
(1) 求椭圆的方程； (2) 在椭圆上任取三个不同点 P1P_{1}，P2P_{2}，P3P_{3}，使 ∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1\angle P_{1}FP_{2} = \angle P_{2}FP_{3} = \angle P_{3}FP_{1}，证明 1∣FP1∣+1∣FP2∣+1∣FP3∣\frac{1}{|FP_1|} + \frac{1}{|FP_2|} + \frac{1}{|FP_3|} 为定值，并求此定值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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