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01数列★☆☆☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 33 项和 S3=9S_{3} = 9 且 a1=1a_1 = 1，则 a2a_2 等于（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2007 · 重庆 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若 x2<1x^{2} < 1，则 −1<x<1-1 < x < 1”的逆否命题是（ ）
A.
若 x2⩾1x^{2} \geqslant 1，则 x⩾1x \geqslant 1 或 x⩽−1x \leqslant -1
B.
若 −1<x<1-1 < x < 1，则 x2<1x^{2} < 1
C.
若 x>1x > 1 或 x<−1x < -1，则 x2>1x^{2} > 1
D.
若 x⩾1x \geqslant 1 或 x⩽−1x \leqslant -1，则 x2⩾1x^{2} \geqslant 1

2007 · 重庆 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A.
55 部分
B.
66 部分
C.
77 部分
D.
88 部分

2007 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+1x)n\left(x + \frac{1}{x}\right)^n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
120120

2007 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB = \sqrt{3}，A=45∘A = 45^{\circ}，C=75∘C = 75^{\circ}，则 BC=BC =（ ）
A.
3−33 - \sqrt{3}
B.
2\sqrt{2}
C.
22
D.
3+33 + \sqrt{3}

2007 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 55 张 100 元100\text{ 元}，33 张 200 元200\text{ 元}，22 张 300 元300\text{ 元}的奥运预赛门票中任取 33 张，则所取 33 张中至少有 22 张价格相同的概率为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
79120\frac{79}{120}
C.
34\frac{3}{4}
D.
2324\frac{23}{24}

2007 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★★☆
若 aa 是 1+2b1 + 2b 与 1−2b1 - 2b 的等比中项，则 2ab∣a∣+2∣b∣\frac{2ab}{|a| + 2|b|} 的最大值为（ ）
A.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
B.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2007 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设正数 aa，bb 满足 lim⁡x→2(x2+ax−b)=4\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \left(x^{2} + ax - b\right) = 4，则 lim⁡n→∞an+1+abn−1an−1+2bn=\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^{n+1} + ab^{n-1}}{a^{n-1} + 2b^n} =（ ）
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2007 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 在 (8,+∞)(8, +\infty) 上为减函数，且函数 y=f(x+8)y = f(x + 8) 为偶函数，则（ ）
A.
f(6)>f(7)f(6) > f(7)
B.
f(6)>f(9)f(6) > f(9)
C.
f(7)>f(9)f(7) > f(9)
D.
f(7)>f(10)f(7) > f(10)

2007 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，∣AB→∣+∣BD→∣+∣DC→∣=4\left|\overrightarrow{AB}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4，∣AB→∣⋅∣BD→∣+∣BD→∣⋅∣DC→∣=4\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4，AB→⋅BD→=BD→⋅DC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{DC} = 0，则 (AB→+DC→)⋅AC→\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\right) \cdot \overrightarrow{AC} 的值为（ ）
A.
22
B.
222 \sqrt{2}
C.
44
D.
424 \sqrt{2}

2007 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
复数 2i2+i3\frac{2\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}^{3}} 的虚部为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足
{x−y⩽1,2x+y⩽4,x⩾1,\begin{cases} x - y \leqslant 1,\\ 2x + y \leqslant 4,\\ x \geqslant 1, \end{cases}
则函数 z=x+3yz = x + 3y 的最大值是______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=2x2+2ax−a−1f(x) = \sqrt{2^{x^{2} + 2ax - a} - 1} 的定义域为 R\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为公比 q>1q > 1 的等比数列，若 a2004a_{2004} 和 a2006a_{2006} 是方程 4x2−8x+3=04x^{2} - 8x + 3 = 0 的两根，则 a2006+a2007=a_{2006} + a_{2007} =______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
某校要求每位学生从 77 门课程中选修 44 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有______ 种. （用数字作答）

2007 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
过双曲线 x2−y2=4x^{2}-y^{2}=4 的右焦点 FF 作倾斜角为 105∘105^{\circ} 的直线，交双曲线于 PP，QQ 两点，则 ∣FP∣⋅∣FQ∣|FP| \cdot |FQ| 的值为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
设 f(x)=6cos⁡2x−3sin⁡2xf(x) = 6\cos^2 x - \sqrt{3}\sin 2x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最大值及最小正周期； (2) 若锐角 α\alpha 满足 f(α)=3−23f(\alpha) = 3 - 2\sqrt{3}，求 tan⁡45α\tan \frac{4}{5} \alpha 的值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某单位有三辆汽车参加某种事故保险. 单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元900\text{ 元} 的保险金. 对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9000 元9000\text{ 元} 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）. 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 19\frac{1}{9}，110\frac{1}{10}，111\frac{1}{11}，且各车是否发生事故相互独立. 求一年内该单位在此保险中：
(1) 获赔的概率； (2) 获赔金额 ξ\xi 的分布列与期望.

2007 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AA1=2AA_{1} = 2，AB=1AB = 1，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}；点 DD，EE 分别在 BB1BB_{1}，A1DA_{1}D 上，且 B1E⊥A1DB_{1}E \perp A_{1}D，四棱锥 C−ABDA1C - ABDA_{1} 与直三棱柱的体积之比为 3:53:5.
(1) 求异面直线 DEDE 与 B1C1B_{1}C_{1} 的距离； (2) 若 BC=2BC = \sqrt{2}，求二面角 A1−DC1−B1A_{1} - DC_{1} - B_{1} 的平面角的正切值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax4ln⁡x+bx4−cf(x) = ax^{4}\ln x + bx^{4} - c（x>0x > 0）在 x=1x = 1 处取得极值 −3−c-3 - c，其中 aa，bb，cc 为常数.
(1) 试确定 aa，bb 的值； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若对任意 x>0x > 0，不等式 f(x)⩾−2c2f(x) \geqslant -2c^{2} 恒成立，求 cc 的取值范围.

2007 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 S1>1S_{1} > 1，且 6Sn=(an+1)(an+2)6S_{n} = (a_{n} + 1)(a_{n} + 2)，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 an(2bn−1)=1a_{n}(2^{b_{n}}-1)=1，并记 TnT_{n} 为 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和，求证： 3Tn+1>log⁡2(an+3)3T_{n}+1>\log_{2}(a_{n}+3)，n∈N+n\in\mathbf{N}_{+}.

2007 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，中心在原点 OO 的椭圆的右焦点为 F(3,0)F(3,0)，右准线 ll 的方程为：x=12x = 12.
(1) 求椭圆的方程； (2) 在椭圆上任取三个不同点 P1P_{1}，P2P_{2}，P3P_{3}，使 ∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1\angle P_{1}FP_{2} = \angle P_{2}FP_{3} = \angle P_{3}FP_{1}，证明 1∣FP1∣+1∣FP2∣+1∣FP3∣\frac{1}{|FP_1|} + \frac{1}{|FP_2|} + \frac{1}{|FP_3|} 为定值，并求此定值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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