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08
函数与初等函数
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
{
2
−
∣
x
∣
,
x
⩽
2
,
(
x
−
2
)
2
,
x
>
2
,
f(x) = \begin{cases} 2 - |x|, & x \leqslant 2,\\ (x - 2)^2, & x > 2, \end{cases}
f
(
x
)
=
{
2
−
∣
x
∣
,
(
x
−
2
)
2
,
x
⩽
2
,
x
>
2
,
函数
g
(
x
)
=
b
−
f
(
2
−
x
)
g(x) = b - f(2 - x)
g
(
x
)
=
b
−
f
(
2
−
x
)
，其中
b
∈
R
b \in \mathbf{R}
b
∈
R
. 若函数
y
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
y = f(x) - g(x)
y
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
恰有4个零点，则
b
b
b
的取值范围是（ ）
A.
(
7
4
,
+
∞
)
\left(\frac{7}{4}, +\infty\right)
(
4
7
,
+
∞
)
B.
(
−
∞
,
7
4
)
\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)
(
−
∞
,
4
7
)
C.
(
0
,
7
4
)
\left(0, \frac{7}{4}\right)
(
0
,
4
7
)
D.
(
7
4
,
2
)
\left(\frac{7}{4}, 2\right)
(
4
7
,
2
)
2015 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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14
平面向量
★★★★☆
在等腰梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，已知
A
B
∥
D
C
AB \parallel DC
A
B
∥
D
C
，
A
B
=
2
AB = 2
A
B
=
2
，
B
C
=
1
BC = 1
B
C
=
1
，
∠
A
B
C
=
60
∘
\angle ABC = 60^\circ
∠
A
B
C
=
6
0
∘
. 动点
E
E
E
和
F
F
F
分别在线段
B
C
BC
B
C
和
D
C
DC
D
C
上，且
B
E
→
=
λ
B
C
→
\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}
B
E
=
λ
B
C
，
D
F
→
=
1
9
λ
D
C
→
\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}
D
F
=
9
λ
1
D
C
，则
A
E
→
⋅
A
F
→
\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}
A
E
⋅
A
F
的最小值为______.
2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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17
立体几何初步
★★★★☆
如图，在四棱柱
A
B
C
D
−
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
A
B
C
D
−
A
1
B
1
C
1
D
1
中，侧棱
A
1
A
⊥
A_{1}A \perp
A
1
A
⊥
底面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，
A
B
⊥
A
C
AB \perp AC
A
B
⊥
A
C
，
A
B
=
1
AB = 1
A
B
=
1
，
A
C
=
A
A
1
=
2
AC = AA_{1} = 2
A
C
=
A
A
1
=
2
，
A
D
=
C
D
=
5
AD = CD = \sqrt{5}
A
D
=
C
D
=
5
，且点
M
M
M
和
N
N
N
分别为
B
1
C
B_{1}C
B
1
C
和
D
1
D
D_{1}D
D
1
D
的中点.
(1) 求证：
M
N
∥
MN \parallel
M
N
∥
平面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
； (2) 求二面角
D
1
−
A
C
−
B
1
D_{1} - AC - B_{1}
D
1
−
A
C
−
B
1
的正弦值； (3) 设
E
E
E
为棱
A
1
B
1
A_{1}B_{1}
A
1
B
1
上的点，若直线
N
E
NE
N
E
和平面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
所成角的正弦值为
1
3
\frac{1}{3}
3
1
，求线段
A
1
E
A_{1}E
A
1
E
的长.
2015 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题
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