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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}，集合 A={2,3,5,6}A = \{2, 3, 5, 6\}，集合 B={1,3,4,6,7}B = \{1, 3, 4, 6, 7\}，则集合 A∩∁UB=A \cap \complement_U B =（ ）
A.
{2,5}\{2,5\}
B.
{3,6}\{3,6\}
C.
{2,5,6}\{2,5,6\}
D.
{2,3,5,6,8}\{2,3,5,6,8\}

2015 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2⩾0,x−y+3⩾0,2x+y−3⩽0,\begin{cases} x + 2 \geqslant 0,\\ x - y + 3 \geqslant 0,\\ 2x + y - 3 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=x+6yz = x + 6y 的最大值为（ ）
A.
3
B.
4
C.
18
D.
40

2015 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为（ ）
A.
−10-10
B.
6
C.
14
D.
18

2015 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，则“∣x−2∣<1|x - 2| < 1”是“x2+x−2>0x^2 + x - 2 > 0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
如图，在圆 OO 中，MM，NN 是弦 ABAB 的三等分点，弦 CDCD，CECE 分别经过点 MM，NN，若 CM=2CM = 2，MD=4MD = 4，CN=3CN = 3，则线段 NENE 的长为（ ）
A.
83\frac{8}{3}
B.
3
C.
103\frac{10}{3}
D.
52\frac{5}{2}

2015 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的一条渐近线过点 (2,3)(2, \sqrt{3})，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47xy^2 = 4\sqrt{7} x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A.
x221−y228=1\frac{x^2}{21} -\frac{y^2}{28} = 1
B.
x228−y221=1\frac{x^2}{28} -\frac{y^2}{21} = 1
C.
x29−y24=1\frac{x^2}{9} -\frac{y^2}{4} = 1
D.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{3} = 1

2015 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2∣x−m∣−1f(x) = 2^{|x - m|} - 1 （mm 为实数）为偶函数，记 a=f(log⁡0.53)a = f(\log_{0.5} 3)，b=f(log⁡25)b = f(\log_{2} 5)，c=f(2m)c = f(2m)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
a<c<ba < c < b
C.
c<a<bc < a < b
D.
c<b<ac < b < a

2015 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={2−∣x∣,x⩽2,(x−2)2,x>2,f(x) = \begin{cases} 2 - |x|, & x \leqslant 2,\\ (x - 2)^2, & x > 2, \end{cases}
函数 g(x)=b−f(2−x)g(x) = b - f(2 - x)，其中 b∈Rb \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 恰有4个零点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
(74,+∞)\left(\frac{7}{4}, +\infty\right)
B.
(−∞,74)\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)
C.
(0,74)\left(0, \frac{7}{4}\right)
D.
(74,2)\left(\frac{7}{4}, 2\right)

2015 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，若复数 (1−2i)(a+i)(1 - 2\mathrm{i})(a + \mathrm{i}) 是纯虚数，则实数 aa 的值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示（单位：m\mathrm{m}），则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^3.

2015 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=x2y = x^{2} 与直线 y=xy = x 所围成的封闭图形的面积为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−14x)6\left(x - \frac{1}{4x}\right)^6 的展开式中，x2x^2 的系数为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3153\sqrt{15}，b−c=2b - c = 2，cos⁡A=−14\cos A = -\frac{1}{4}，则 aa 的值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 动点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}，DF→=19λDC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最小值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x−sin⁡2(x−π6)f(x) = \sin^2 x - \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π3,π4]\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2015 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1) 设 AA 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 AA 发生的概率； (2) 设 XX 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ACAB \perp AC，AB=1AB = 1，AC=AA1=2AC = AA_{1} = 2，AD=CD=5AD = CD = \sqrt{5}，且点 MM 和 NN 分别为 B1CB_{1}C 和 D1DD_{1}D 的中点.
(1) 求证：MN∥MN \parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求二面角 D1−AC−B1D_{1} - AC - B_{1} 的正弦值； (3) 设 EE 为棱 A1B1A_{1}B_{1} 上的点，若直线 NENE 和平面 ABCDABCD 所成角的正弦值为 13\frac{1}{3}，求线段 A1EA_{1}E 的长.

2015 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+2=qana_{n + 2} = qa_{n}（qq 为实数，且 q≠1q \neq 1），n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 a2+a3a_{2} + a_{3}，a3+a4a_{3} + a_{4}，a4+a5a_{4} + a_{5} 成等差数列.
(1) 求 qq 的值和 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2a2na2n−1b_{n}=\frac{\log_{2}a_{2n}}{a_{2n-1}}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c, 0)，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，点 MM 在椭圆上且位于第一象限，直线 FMFM 被圆 x2+y2=b24x^2 + y^2 = \frac{b^2}{4} 截得的线段的长为 cc，∣FM∣=433|FM| = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求直线 FMFM 的斜率； (2) 求椭圆的方程； (3) 设动点 PP 在椭圆上，若直线 FPFP 的斜率大于 2\sqrt{2}，求直线 OPOP（OO 为原点）的斜率的取值范围.

2015 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=nx−xnf(x) = nx - x^n，x∈Rx \in \mathbf{R}. 其中 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 n⩾2n \geqslant 2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴正半轴的交点为 PP，曲线在点 PP 处的切线方程为 y=g(x)y = g(x). 求证：对于任意的正实数 xx，都有 f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)； (3) 若关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a（aa 为实数）有两个正实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，求证： ∣x2−x1∣<a1−n+2|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2.

2015 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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