设 $m \in \mathbf{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P(x, y)$. 则 $|PA| + |PB|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 两条动直线分别恒过 $A=(0,0)$ 和 $B=(1,3)$. 它们的法向量分别为 $(1,m)$ 和 $(m,-1)$，数量积为 $m-m=0$，所以两直线始终垂直，即 $\angle APB=90^{\circ}$. 因而 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，且 $|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，$|PA|^2+|PB|^2=10$. 由基本不等式， 联立两条直线方程可得 当 $m=3$ 或 $m=-\frac13$ 时，分别有 $P=A$ 或 $P=B$，下界可以取得；当 $m=\frac12$ 或 $m=-2$ 时，分别有 $P=(-1,2)$ 或 $P=(2,1)$，均满足 $|PA|=|PB|=\sqrt5$，上界也可以取得. 故取值范围为 $[\sqrt{10},2\sqrt5]$，选 B. \end{solution}

以 $A$ 表示值域为 $\mathbf{R}$ 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$. 例如，当 $\varphi_{1}(x) = x^{3}$，$\varphi_{2}(x) = \sin x$ 时，$\varphi_{1}(x) \in A$，$\varphi_{2}(x) \in B$. 现有如下命题：

① 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则“$f(x) \in A$”的充要条件是“$\forall b \in \mathbf{R}$，$\exists a \in D$，$f(a)=b$”； ② 函数 $f(x) \in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值； ③ 若函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A$，$g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$； ④ 若函数 $f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}$（$x > -2$，$a \in \mathbf{R}$）有最大值，则 $f(x) \in B$.

其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} $\circled{1}\circled{3}\circled{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 $\mathbf{R}$ 的定义，因此命题 1 为真.

命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 $f(x)=\arctan x$ 的值域为 $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.

命题 3 中，设 $g(x)$ 的值域包含于 $[-M,M]$. 对任意正数 $K$，由于 $f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$，存在 $x$ 使 $f(x)>K+M$，于是 $f(x)+g(x)>K$. 因而 $f+g$ 无上界，不能属于 $B$，命题 3 为真.

命题 4 中，若 $a>0$，则 $a\ln(x+2)\to+\infty$（$x\to+\infty$），函数不可能有最大值；若 $a<0$，则 $a\ln(x+2)\to+\infty$（$x\to-2^+$），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 $a=0$，此时 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，且 $\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12$，所以 $f(x)\in B$. 命题 4 为真.

所以真命题的序号为 $1$，$3$，$4$. \end{solution}

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F(-2,0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，$T$ 为直线 $x = -3$ 上一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆于 $P$，$Q$. 当四边形 $OPTQ$ 是平行四边形时，求四边形 $OPTQ$ 的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆焦距参数为 $c$. 由左焦点 $F(-2,0)$ 得 $c=2$，再由离心率 $e=\frac ca=\frac{\sqrt6}{3}$，得 $a=\sqrt6$. 因为 $b^2=a^2-c^2=6-4=2$，所以椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$. \item 设 $T=(-3,m)$. 向量 $\overrightarrow{TF}=(1,-m)$，过 $F$ 且垂直于 $TF$ 的直线可写为 $x=my-2$. 设 $P=(x_1,y_1)$，$Q=(x_2,y_2)$，代入椭圆方程得 由韦达定理， $y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3}$，$y_1y_2=-\frac2{m^2+3}$. 又 $x_i=my_i-2$，所以 $x_1+x_2=\frac{4m^2}{m^2+3}-4=-\frac{12}{m^2+3}$. 四边形 $OPTQ$ 为平行四边形时，对角线互相平分，即 $P+Q=O+T=T$，故 $\frac{4m}{m^2+3}=m$，$-\frac{12}{m^2+3}=-3$. 第二个等式给出 $m^2=1$，这两个值也满足第一个等式，因此 $m=\pm1$.

取 $m=1$，则 $T=(-3,1)$，直线 $PQ$ 为 $y=x+2$，与椭圆的两个交点为 $P\left(\frac{-3-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right)$，$Q\left(\frac{-3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right)$. 平行四边形的两条对角线为 $OT$ 与 $PQ$，故面积为 当 $m=-1$ 时图形关于 $x$ 轴对称，面积相同. 因此四边形 $OPTQ$ 的面积为 $2\sqrt3$. \end{enumerate} \end{solution}