如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$，$F$ 是 $AD$ 上两个三等分点，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}$ 的值是 $\underline{\hspace{2em}}$.

在锐角三角形 $ABC$ 中，若 $\sin A=2\sin B\sin C$，则 $\tan A\tan B\tan C$ 的最小值是 $\underline{\hspace{2em}}$.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$.

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程； (2) 设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B$，$C$ 两点，且 $BC=OA$，求直线 $l$ 的方程； (3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，求实数 $t$ 的取值范围.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l:x-y-2=0$，抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）.

(1) 若直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，求抛物线 $C$ 的方程； (2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$ 对称的相异两点 $P$ 和 $Q$.

(i) 求证：线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$； (ii) 求 $p$ 的取值范围.

(1) 求 $7\mathrm C_6^3-4\mathrm C_7^4$ 的值； (2) 设 $m$，$n\in\mathbf{N}^*$，$n\ge m$，求证： $(m+1)\mathrm C_m^m+(m+2)\mathrm C_{m+1}^m+(m+3)\mathrm C_{m+2}^m+\cdots+n\mathrm C_{n-1}^m+(n+1)\mathrm C_n^m=(m+1)\mathrm C_{n+2}^{m+2}.$