在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设定点 $A(a,a)$，$P$ 是函数 $y=\frac{1}{x}$（$x>0$）图象上一动点. 若点 $P$，$A$ 之间的最短距离为 $2\sqrt2$，则满足条件的实数 $a$ 的所有值为______.

在正项等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_5=\frac{1}{2}$，$a_6+a_7=3$，则满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n>a_1a_2\cdots a_n$ 的最大正整数 $n$ 的值为______.

如图，游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径. 一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$，另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$. 现有甲，乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $AC$ 匀速步行，速度为 $50\mathrm{~m/min}$. 在甲出发 $2\mathrm{~min}$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$，在 $B$ 处停留 $1\mathrm{~min}$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$. 假设缆车匀速直线运动的速度为 $130\mathrm{~m/min}$，山路 $AC$ 长为 $1260\mathrm{~m}$，经测量，$\cos A=\frac{12}{13}$，$\cos C=\frac{3}{5}$.

(1) 求索道 $AB$ 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3\mathrm{~min}$，乙步行的速度应控制在什么范围内？

设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$，公差为 $d$ 的等差数列（$d\ne 0$），$S_n$ 是其前 $n$ 项和. 记 $b_n=\frac{nS_n}{n^2+c}$，$n\in\mathbf{N}^*$，其中 $c$ 为实数.

(1) 若 $c=0$，且 $b_1$，$b_2$，$b_4$ 成等比数列，证明：$S_{nk}=n^2S_k$（$k$，$n\in\mathbf{N}^*$）； (2) 若 $\{b_n\}$ 是等差数列，证明：$c=0$.