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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=3sin⁡(2x+π4)y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期为______.

2013 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=(2−i)2z=(2-\mathrm{i})^2（i\mathrm{i} 为虚数单位），则复数 zz 的模为______.

2013 · 江苏 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x216−y29=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 的两条渐近线的方程为______.

2013 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 {−1,0,1}\{-1,0,1\} 共有______ 个子集.

2013 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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05数列★★☆☆☆
如图是一个算法的流程图，则输出的 nn 的值是______.

2013 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
抽样统计甲，乙两位射击运动员的 55 次训练成绩（单位：环），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为______.

2013 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
现有某类病毒记作 XmYnX_mY_n，其中正整数 mm，nn（m⩽7m\leqslant 7，n⩽9n\leqslant 9）可以任意选取，则 mm，nn 都取到奇数的概率为______.

2013 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
如图，在三棱柱 A1B1C1−ABCA_1B_1C_1-ABC 中，DD，EE，FF 分别是 ABAB，ACAC，AA1AA_1 的中点. 设三棱锥 F−ADEF-ADE 的体积为 V1V_1，三棱柱 A1B1C1−ABCA_1B_1C_1-ABC 的体积为 V2V_2，则 V1:V2=‾V_1:V_2=\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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09导数及其应用★★★☆☆
抛物线 y=x2y=x^2 在 x=1x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 DD（包含三角形内部与边界）. 若点 P(x,y)P(x,y) 是区域 DD 内的任意一点，则 x+2yx+2y 的取值范围是______.

2013 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
设 DD，EE 分别是 △ABC\triangle ABC 的边 ABAB，BCBC 上的点，AD=12ABAD=\frac{1}{2}AB，BE=23BCBE=\frac{2}{3}BC. 若 DE→=λ1AB→+λ2AC→\overrightarrow{DE}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}（λ1\lambda_1，λ2\lambda_2 为实数），则 λ1+λ2\lambda_1+\lambda_2 的值为______.

2013 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数. 当 x>0x>0 时，f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x，则不等式 f(x)>xf(x)>x 的解集用区间表示为______.

2013 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 的标准方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），右焦点为 FF，右准线为 ll，短轴的一个端点为 BB，设原点到直线 BFBF 的距离为 d1d_1，FF 到 ll 的距离为 d2d_2. 若 d2=6 d1d_2=\sqrt6\,d_1，则椭圆 CC 的离心率为______.

2013 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设定点 A(a,a)A(a,a)，PP 是函数 y=1xy=\frac{1}{x}（x>0x>0）图象上一动点. 若点 PP，AA 之间的最短距离为 222\sqrt2，则满足条件的实数 aa 的所有值为______.

2013 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
在正项等比数列 {an}\{a_n\} 中，a5=12a_5=\frac{1}{2}，a6+a7=3a_6+a_7=3，则满足 a1+a2+⋯+an>a1a2⋯ana_1+a_2+\cdots+a_n>a_1a_2\cdots a_n 的最大正整数 nn 的值为______.

2013 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b}=(\cos\beta,\sin\beta)，0<β<α<π0<\beta<\alpha<\pi.
(1) 若 ∣a−b∣=2\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=\sqrt2，求证：a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； (2) 设 c=(0,1)\boldsymbol{c}=(0,1)，若 a+b=c\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}，求 α\alpha，β\beta 的值.

2013 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，平面 SAB⊥SAB\perp 平面 SBCSBC，AB⊥BCAB\perp BC，AS=ABAS=AB. 过 AA 作 AF⊥SBAF\perp SB，垂足为 FF，点 EE，GG 分别是棱 SASA，SCSC 的中点. 求证：
(1) 平面 EFG∥EFG\parallel 平面 ABCABC； (2) BC⊥SABC\perp SA.

2013 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 A(0,3)A(0,3)，直线 l:y=2x−4l:y=2x-4. 设圆 CC 的半径为 11，圆心在 ll 上.
(1) 若圆心 CC 也在直线 y=x−1y=x-1 上，过点 AA 作圆 CC 的切线，求切线的方程； (2) 若圆 CC 上存在点 MM，使 MA=2MOMA=2MO，求圆心 CC 的横坐标 aa 的取值范围.

2013 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
如图，游客从某旅游景区的景点 AA 处下山至 CC 处有两种路径. 一种是从 AA 沿直线步行到 CC，另一种是先从 AA 沿索道乘缆车到 BB，然后从 BB 沿直线步行到 CC. 现有甲，乙两位游客从 AA 处下山，甲沿 ACAC 匀速步行，速度为 50 m/min50\mathrm{~m/min}. 在甲出发 2 min2\mathrm{~min} 后，乙从 AA 乘缆车到 BB，在 BB 处停留 1 min1\mathrm{~min} 后，再从 BB 匀速步行到 CC. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min130\mathrm{~m/min}，山路 ACAC 长为 1260 m1260\mathrm{~m}，经测量，cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}，cos⁡C=35\cos C=\frac{3}{5}.
(1) 求索道 ABAB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在 CC 处互相等待的时间不超过 3 min3\mathrm{~min}，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2013 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 aa，公差为 dd 的等差数列（d≠0d\ne 0），SnS_n 是其前 nn 项和. 记 bn=nSnn2+cb_n=\frac{nS_n}{n^2+c}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，其中 cc 为实数.
(1) 若 c=0c=0，且 b1b_1，b2b_2，b4b_4 成等比数列，证明：Snk=n2SkS_{nk}=n^2S_k（kk，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (2) 若 {bn}\{b_n\} 是等差数列，证明：c=0c=0.

2013 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−axf(x)=\ln x-ax，g(x)=ex−axg(x)=\mathrm{e}^x-ax，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数，且 g(x)g(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上有最小值，求 aa 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上是单调增函数，试求 f(x)f(x) 的零点个数，并证明你的结论.

2013 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知 a⩾b>0a\geqslant b>0，求证：2a3−b3⩾2ab2−a2b2a^3-b^3\geqslant 2ab^2-a^2b.

2013 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 和 BCBC 分别与圆 OO 相切于点 DD，CC，ACAC 经过圆心 OO，且 BC=2OCBC=2OC. 求证：AC=2ADAC=2AD.

2013 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21平面向量★☆☆☆☆
已知矩阵
A=[−1002]A=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}
，
B=[1206]B=\begin{bmatrix}1&2\\0&6\end{bmatrix}
，求矩阵 A−1BA^{-1}B.

2013 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为 x=t+1x=t+1，y=2ty=2t（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为 x=2tan⁡2θx=2\tan^2\theta，y=2tan⁡θy=2\tan\theta（θ\theta 为参数）. 试求直线 ll 和曲线 CC 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.

2013 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 A1B1C1−ABCA_1B_1C_1-ABC 中，AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=2AB=AC=2，A1A=4A_1A=4，点 DD 是 BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 A1BA_1B 与 C1DC_1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC1ADC_1 与平面 ABA1ABA_1 所成二面角的正弦值.

2013 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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