在 $120^{\circ}$ 的二面角 $P - a - Q$ 的两个面 $P$ 和 $Q$ 内，分别有点 $A$ 和点 $B$，已知点 $A$ 和点 $B$ 到棱 $a$ 的距离分别为 $2$ 和 $4$，且线段 $AB = 10$.

(1) 求直线 $AB$ 和棱 $a$ 所成的角； (2) 求直线 $AB$ 和平面 $Q$ 所成的角.

给定双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.

(1) 过点 $A(2,1)$ 的直线 $L$ 与所给的双曲线交于两点 $P_{1}$ 及 $P_{2}$，求线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹方程； (2) 过点 $B(1,1)$ 能否作直线 $m$，使 $m$ 与所给双曲线交于两点 $Q_{1}$ 及 $Q_{2}$，且点 $B$ 是线段 $Q_{1}Q_{2}$ 的中点？ 这样的直线 $m$ 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

已知以 $AB$ 为直径的半圆有一个内接正方形 $CDEF$，其边长为 $1$（如图）. 设 $AC = a$，$BC = b$，作数列 $u_1 = a - b$，$u_2 = a^2 - ab + b^2$，$u_3 = a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$，$\cdots$，$u_k = a^k - a^{k-1}b + a^{k-2}b^2 - \cdots + (-1)^k b^k$；求证： $u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$（$n \geqslant 3$）.