如图，在斜三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle A_{1}AB = \angle A_{1}AC$，$AB = AC$，$A_{1}A = A_{1}B = a$，侧面 $B_{1}BCC_{1}$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角为 $120^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是棱 $B_{1}C_{1}$，$A_{1}A$ 的中点.

(1) 求 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角； (2) 证明 $A_{1}E \parallel$ 平面 $B_{1}FC$； (3) 求经过 $A_{1}$，$A$，$B$，$C$ 四点的球的体积.

某人在一山坡 $P$ 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 $BC = 80\mathrm{~m}$，塔所在的山高 $OB = 220\mathrm{~m}$，$OA = 200\mathrm{~m}$. 图中所示的山坡可视为直线 $l$ 且点 $P$ 在直线 $l$ 上，$l$ 与水平地面的夹角为 $\alpha$，$\tan \alpha = \frac{1}{2}$. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大？ （不计此人的身高）

抛物线 $C$ 的方程为 $y = ax^{2}$（$a < 0$），过抛物线 $C$ 上一点 $P(x_{0}, y_{0})$（$x_{0} \neq 0$）作斜率为 $k_{1}$，$k_{2}$ 的两条直线分别交抛物线 $C$ 于 $A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$ 两点（$P$，$A$，$B$ 三点互不相同），且满足 $k_{2} + \lambda k_{1} = 0$（$\lambda \neq 0$，$\lambda \neq -1$）.

(1) 求抛物线 $C$ 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 $AB$ 上一点 $M$，满足 $\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MA}$，证明线段 $PM$ 的中点在 $y$ 轴上； (3) 当 $\lambda = 1$ 时，若点 $P$ 的坐标为 $(1, -1)$，求 $\angle PAB$ 为钝角时点 $A$ 的纵坐标 $y_{1}$ 的取值范围.