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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣0⩽x<3 且 x∈N}A = \{x \mid 0 \leqslant x < 3 \text{ 且 } x \in \mathbf{N}\} 的真子集的个数是（\quad）
A.
1616
B.
88
C.
77
D.
44

2005 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 log⁡12b<log⁡12a<log⁡12c\log_{\frac{1}{2}} b < \log_{\frac{1}{2}} a < \log_{\frac{1}{2}} c，则（\quad）
A.
2b>2a>2c2^{b} > 2^{a} > 2^{c}
B.
2a>2b>2c2^{a} > 2^{b} > 2^{c}
C.
2c>2b>2a2^{c} > 2^{b} > 2^{a}
D.
2c>2a>2b2^{c} > 2^{a} > 2^{b}

2005 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★★☆☆☆
某人射击一次击中的概率为 0.60.6，经过 33 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（\quad）
A.
81125\frac{81}{125}
B.
54125\frac{54}{125}
C.
36125\frac{36}{125}
D.
27125\frac{27}{125}

2005 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
将直线 2x−y+λ=02x - y + \lambda = 0 沿 xx 轴向左平移 11 个单位. 所得直线与圆 x2+y2+2x−4y=0x^{2} + y^{2} + 2x - 4y = 0 相切，则实数 λ\lambda 的值为（\quad）
A.
−3-3 或 77
B.
−2-2 或 88
C.
00 或 1010
D.
11 或 1111

2005 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta，γ\gamma 为平面，mm，nn，ll 为直线. 则 m⊥βm \perp \beta 的一个充分条件是（\quad）
A.
α⊥β,α∩β=l,m⊥l\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = l, m \perp l
B.
α∩γ=m\alpha \cap \gamma = m，α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ\beta \perp \gamma
C.
α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ\beta \perp \gamma，m⊥αm \perp \alpha
D.
n⊥αn \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta，m⊥αm \perp \alpha

2005 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
设双曲线以椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（\quad）
A.
±2\pm 2
B.
±43\pm \frac{4}{3}
C.
±12\pm \frac{1}{2}
D.
±34\pm \frac{3}{4}

2005 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 若 a⩾b>−1a \geqslant b > -1，则 a1+a⩾b1+b\frac{a}{1 + a} \geqslant \frac{b}{1 + b}； ② 若正整数 mm 和 nn 满足 m⩽nm \leqslant n，则 m(n−m)⩽n2\sqrt{m(n - m)} \leqslant \frac{n}{2}； ③ 设 P(x1,y1)P(x_{1}, y_{1}) 为圆 O1:x2+y2=9O_{1}: x^{2} + y^{2} = 9 上任一点，圆 O2O_{2} 以 Q(a,b)Q(a, b) 为圆心且半径为 11. 当 (a−x1)2+(b−y1)2=1(a - x_{1})^{2} + (b - y_{1})^{2} = 1 时，圆 O1O_{1} 与圆 O2O_{2} 相切.
其中假命题的个数为（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
函数 y=Asin⁡(ωx+φ)y = A \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，∣φ∣<π2|\varphi| < \frac{\pi}{2}，x∈Rx \in \mathbf{R}）的部分图象如图所示，则函数表达式为（\quad）
A.
y=−4sin⁡(π8x+π4)y = -4\sin \left(\frac{\pi}{8} x + \frac{\pi}{4}\right)
B.
y=4sin⁡(π8x−π4)y = 4\sin \left(\frac{\pi}{8} x - \frac{\pi}{4}\right)
C.
y=−4sin⁡(π8x−π4)y = -4\sin \left(\frac{\pi}{8} x - \frac{\pi}{4}\right)
D.
y=4sin⁡(π8x+π4)y = 4\sin \left(\frac{\pi}{8} x + \frac{\pi}{4}\right)

2005 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(2x2+x)f(x) = \log_a(2x^2 + x)（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在区间 (0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right) 内恒有 f(x)>0f(x) > 0，则 f(x)f(x) 的单调递增区间为（\quad）
A.
(−∞,−14)\left(-\infty, -\frac{1}{4}\right)
B.
(−14,+∞)\left(-\frac{1}{4}, +\infty\right)
C.
(0,+∞)(0, +\infty)
D.
(−∞,−12)\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)

2005 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上以 66 为周期的函数，f(x)f(x) 在 (0,3)(0,3) 内单调递增，且 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=3x = 3 对称，则下面正确的结论是（\quad）
A.
f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)f(1.5) < f(3.5) < f(6.5)
B.
f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)f(3.5) < f(1.5) < f(6.5)
C.
f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)f(6.5) < f(3.5) < f(1.5)
D.
f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)f(3.5) < f(6.5) < f(1.5)

2005 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
二项式 (x3−1x)10\left(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10} 的展开式中常数项为______. （用数字作答）

2005 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=2\left|\boldsymbol{a}\right| = 2，∣b∣=4\left|\boldsymbol{b}\right| = 4，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.

2005 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★☆☆☆
如图，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ 且 PA=AC=BC=aPA = AC = BC = a，则异面直线 PBPB 与 ACAC 所成角的正切值等于______.

2005 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 an+2−an=1+(−1)na_{n+2} - a_{n} = 1 + (-1)^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 则 S10=S_{10} =______.

2005 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(0,1)A(0,1) 和点 B(−3,4)B(-3,4). 若点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 的平分线上且 ∣OC→∣=2\left|\overrightarrow{OC}\right| = 2，则 OC→=‾\overrightarrow{OC} =\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡1+x1−xf(x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}，则函数 g(x)=f(x2)+f(1x)g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{1}{x}\right) 的定义域为______.

2005 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
在三角形的每条边上各取三个分点（如图），以这99个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为______. （用数字作答）

2005 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡(α−π4)=7210\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}，cos⁡2α=725\cos 2\alpha = \frac{7}{25}，求 sin⁡α\sin \alpha 及 tan⁡(α+π3)\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right).

2005 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
若公比为 cc 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=1a_1 = 1 且满足 an=an−1+an−22a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n - 2}}{2}（n=3n = 3，44，…\dots）.
(1) 求 cc 的值； (2) 求数列 {nan}\{na_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2005 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠A1AB=∠A1AC\angle A_{1}AB = \angle A_{1}AC，AB=ACAB = AC，A1A=A1B=aA_{1}A = A_{1}B = a，侧面 B1BCC1B_{1}BCC_{1} 与底面 ABCABC 所成的二面角为 120∘120^{\circ}，EE，FF 分别是棱 B1C1B_{1}C_{1}，A1AA_{1}A 的中点.
(1) 求 A1AA_{1}A 与底面 ABCABC 所成的角； (2) 证明 A1E∥A_{1}E \parallel 平面 B1FCB_{1}FC； (3) 求经过 A1A_{1}，AA，BB，CC 四点的球的体积.

2005 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 mBC = 80\mathrm{~m}，塔所在的山高 OB=220 mOB = 220\mathrm{~m}，OA=200 mOA = 200\mathrm{~m}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？ （不计此人的身高）

2005 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
已知 m∈Rm \in \mathbf{R}. 设 PP： x1x_1 和 x2x_2 是方程 x2−ax−2=0x^2 - ax - 2 = 0 的两个实根，不等式 ∣m2−5m−3∣⩾∣x1−x2∣|m^2 - 5m - 3| \geqslant |x_1 - x_2| 对任意实数 a∈[−1,1]a \in [-1, 1] 恒成立； QQ：函数 f(x)=x3+mx2+(m+43)x+6f(x) = x^3 + mx^2 + \left(m + \frac{4}{3}\right)x + 6 在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上有极值. 求使 PP 正确且 QQ 正确的 mm 的取值范围.

2005 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y = ax^{2}（a<0a < 0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_{0}, y_{0})（x0≠0x_{0} \neq 0）作斜率为 k1k_{1}，k2k_{2} 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2}, y_{2}) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同），且满足 k2+λk1=0k_{2} + \lambda k_{1} = 0（λ≠0\lambda \neq 0，λ≠−1\lambda \neq -1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MA}，证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda = 1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1, -1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_{1} 的取值范围.

2005 · 天津 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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