如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>b>0$）的四个顶点，$F$ 为其右焦点. 直线 $A_1B_2$ 与直线 $B_1F$ 相交于点 $T$，线段 $OT$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $OT$ 的中点，则该椭圆的离心率为______.

设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$|q|>1$. 令 $b_n=a_n+1$（$n=1$，$2$，$\cdots$），若数列 $\{b_n\}$ 有连续四项在集合 $\{-53,-23,19,37,82\}$ 中，则 $6q=\underline{\hspace{2em}}$.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$.

(1) 若直线 $l$ 过点 $A(4,0)$，且被圆 $C_1$ 截得的弦长为 $2\sqrt3$，求直线 $l$ 的方程； (2) 设 $P$ 为平面上的点，满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$，它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交，且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被圆 $C_2$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a\text{ 元}$，如果他卖出该产品的单价为 $m\text{ 元}$，则他的满意度为 $\frac{m}{m+a}$；如果他买进该产品的单价为 $n\text{ 元}$，则他的满意度为 $\frac{a}{n+a}$. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 $h_1$ 和 $h_2$，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_1h_2}$. 现假设甲生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 $12\text{ 元}$ 和 $5\text{ 元}$，乙生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 $3\text{ 元}$ 和 $20\text{ 元}$，设产品 A，B 的单价分别为 $m_{\text{A}}\text{ 元}$ 和 $m_{\text{B}}\text{ 元}$，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 $h_{\text{甲}}$，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 $h_{\text{乙}}$.

(1) 求 $h_{\text{甲}}$ 和 $h_{\text{乙}}$ 关于 $m_{\text{A}}$，$m_{\text{B}}$ 的表达式；当 $m_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}$ 时，求证：$h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}$； (2) 设 $m_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}$，当 $m_{\text{A}}$，$m_{\text{B}}$ 分别为多少时，甲，乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记第 $2$ 问中最大的综合满意度为 $h_0$，试问能否适当选取 $m_{\text{A}}$，$m_{\text{B}}$ 的值，使得 $h_{\text{甲}}\ge h_0$ 和 $h_{\text{乙}}\ge h_0$ 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|$.

(1) 若 $f(0)\ge1$，求 $a$ 的取值范围； (2) 求 $f(x)$ 的最小值； (3) 设函数 $h(x)=f(x)$，$x\in(a,+\infty)$，直接写出（不需给出演算步骤）不等式 $h(x)\ge1$ 的解集.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C$ 的顶点在原点，经过点 $A(2,2)$，其焦点 $F$ 在 $x$ 轴上.

(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程； (2) 求过点 $F$，且与直线 $OA$ 垂直的直线的方程； (3) 设过点 $M(m,0)$（$m>0$）的直线交抛物线 $C$ 于 $D$，$E$ 两点，$ME=2DM$，记 $D$ 和 $E$ 两点间的距离为 $f(m)$，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式.

对于正整数 $n\ge2$，用 $T_n$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a,b)$ 的组数，其中 $a$，$b\in\{1,2,\cdots,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a$，$b\in\{1,2,\cdots,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_n$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的概率.

(1) 求 $T_{n^2}$ 和 $P_{n^2}$； (2) 求证：对任意正整数 $n\ge2$，有 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt n}$.