过双曲线 $M:x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左顶点 $A$ 作斜率为 $1$ 的直线 $l$，若 $l$ 与双曲线 $M$ 的两条渐近线分别相交于点 $B$，$C$，且 $|AB|=|BC|$，则双曲线 $M$ 的离心率是（ ）

已知函数 $f(x)=ax^3-3x^2+1-\dfrac{3}{a}$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (2) 若曲线 $y=f(x)$ 上两点 $A$，$B$ 处的切线都与 $y$ 轴垂直，且线段 $AB$ 与 $x$ 轴有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

在 $m$（$m\geqslant2$）个不同数的排列 $P_1P_2\cdots P_m$ 中，若 $1\leqslant i<j\leqslant m$ 时 $P_i>P_j$（即前面某数大于后面某数），则称 $P_i$ 与 $P_j$ 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 $(n+1)n(n-1)\cdots321$ 的逆序数为 $a_n$，如排列 $21$ 的逆序数 $a_1=1$，排列 $321$ 的逆序数 $a_2=3$，排列 $4321$ 的逆序数 $a_3=6$.

(1) 求 $a_4$，$a_5$，并写出 $a_n$ 的表达式； (2) 令 $b_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$，证明：$2n<b_1+b_2+\cdots+b_n<2n+3$，$n=1$，$2$，$\cdots$.