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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡2xy=\sqrt{\log_{2}x} 的定义域是（ ）
A.
(0,1](0,1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(1,+∞)(1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2006 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,t)\boldsymbol{a}=(2,t)，b=(1,2)\boldsymbol{b}=(1,2)，若 t=t1t=t_1 时，a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}；t=t2t=t_2 时，a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
t1=−4,t2=−1t_1=-4,t_2=-1
B.
t1=−4t_1=-4，t2=1t_2=1
C.
t1=4t_1=4，t2=−1t_2=-1
D.
t1=4t_1=4，t2=1t_2=1

2006 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax−1)5(ax-1)^5 的展开式中 x3x^3 的系数是 8080，则实数 aa 的值是（ ）
A.
−2-2
B.
222\sqrt{2}
C.
43\sqrt[3]{4}
D.
22

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04立体几何初步★★☆☆☆
过半径为 22 的球 OO 表面上一点 AA 作球 OO 的截面，若 OAOA 与该截面所成的角是 60∘60^{\circ}，则该截面的面积是（ ）
A.
π\pi
B.
2π2\pi
C.
3π3\pi
D.
23π2\sqrt{3}\pi

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a=1a=1”是“函数 f(x)=∣x−a∣f(x)=|x-a| 在区间 [1,+∞)[1,+\infty) 上为增函数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
在数字 11，22，33 与符号 ++，−- 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）
A.
66
B.
1212
C.
1818
D.
2424

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07解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−4x−4y−10=0x^2+y^2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y−14=0x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是（ ）
A.
3636
B.
1818
C.
626\sqrt{2}
D.
525\sqrt{2}

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08三角函数★★★☆☆
设点 PP 是函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin\omega x 的图象 CC 的一个对称中心，若点 PP 到图象 CC 的对称轴上的距离的最小值是 π4\frac{\pi}{4}，则 f(x)f(x) 的最小正周期是（ ）
A.
2π2\pi
B.
π\pi
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
π4\frac{\pi}{4}

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09解析几何★★★★☆
过双曲线 M:x2−y2b2=1M:x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的左顶点 AA 作斜率为 11 的直线 ll，若 ll 与双曲线 MM 的两条渐近线分别相交于点 BB，CC，且 ∣AB∣=∣BC∣|AB|=|BC|，则双曲线 MM 的离心率是（ ）
A.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
B.
103\frac{\sqrt{10}}{3}
C.
5\sqrt{5}
D.
10\sqrt{10}

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10平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM\parallel AB，点 PP 由射线 OMOM、线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}，则实数对 (x,y)(x,y) 可以是（ ）
A.
(14,34)\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)
B.
(−23,23)\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)
C.
(−14,34)\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)
D.
(−15,75)\left(-\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)

2006 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：a1=1a_1=1，an+1=2ana_{n+1}=2a_n，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，则 a1+a2+⋯+an=a_1+a_2+\cdots+a_n=______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班 40 人40\text{ 人}，乙班 50 人50\text{ 人}. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分90\text{ 分}，乙班的平均成绩是 81 分81\text{ 分}，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______ 分\text{ 分}.

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13不等式★★☆☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x\geqslant1,\\ x-y+1\leqslant0,\\ 2x-y-2\leqslant0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2+y^2 的最小值是______.

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14立体几何初步★★★☆☆
过三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1ABB_1A_1 平行的直线共有______条\text{条}.

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15三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+3sin⁡(x−π4)f(x)=a\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) 是偶函数，则 a=a=______.

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16三角函数★★☆☆☆
已知 3sin⁡θ−sin⁡(π2−2θ)cos⁡(π+θ)⋅cos⁡θ=1\sqrt{3}\sin\theta-\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}{\cos\left(\pi+\theta\right)}\cdot\cos\theta=1，θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi)，求 θ\theta 的值.

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17概率与统计★★★☆☆
某安全生产监督部门对 5 家5\text{ 家}小型煤矿进行安全检查（简称安检）. 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.50.5，整改后安检合格的概率是 0.80.8，计算（结果精确到 0.010.01）：
(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率； (2) 某煤矿不被关闭的概率； (3) 至少关闭一家煤矿的概率.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知两个正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 与 Q−ABCDQ-ABCD 的高都是 22，AB=4AB=4.
(1) 证明：PQ⊥PQ\perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 AQAQ 与 PBPB 所成的角； (3) 求点 PP 到平面 QADQAD 的距离.

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−3x2+1−3af(x)=ax^3-3x^2+1-\dfrac{3}{a}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 上两点 AA，BB 处的切线都与 yy 轴垂直，且线段 ABAB 与 xx 轴有公共点，求实数 aa 的取值范围.

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20数列★★★★☆
在 mm（m⩾2m\geqslant2）个不同数的排列 P1P2⋯PmP_1P_2\cdots P_m 中，若 1⩽i<j⩽m1\leqslant i<j\leqslant m 时 Pi>PjP_i>P_j（即前面某数大于后面某数），则称 PiP_i 与 PjP_j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 (n+1)n(n−1)⋯321(n+1)n(n-1)\cdots321 的逆序数为 ana_n，如排列 2121 的逆序数 a1=1a_1=1，排列 321321 的逆序数 a2=3a_2=3，排列 43214321 的逆序数 a3=6a_3=6.
(1) 求 a4a_4，a5a_5，并写出 ana_n 的表达式； (2) 令 bn=anan+1+an+1anb_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}，证明：2n<b1+b2+⋯+bn<2n+32n<b_1+b_2+\cdots+b_n<2n+3，n=1n=1，22，⋯\cdots.

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C1:x24+y23=1C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1，抛物线 C2:(y−m)2=2pxC_2:(y-m)^2=2px（p>0p>0），且 C1C_1，C2C_2 的公共弦 ABAB 过椭圆 C1C_1 的右焦点.
(1) 当 AB⊥xAB\perp x 轴时，求 mm，pp 的值，并判断抛物线 C2C_2 的焦点是否在直线 ABAB 上； (2) 若 p=43p=\frac43 且抛物线 C2C_2 的焦点在直线 ABAB 上，求 mm 的值及直线 ABAB 的方程.

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