设非空集合 $S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\}$ 满足：当 $x \in S$ 时，有 $x^2 \in S$. 给出如下三个命题：

① 若 $m = 1$，则 $S = \{1\}$； ② 若 $m = -\frac{1}{2}$，则 $\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1$； ③ 若 $l = \frac{1}{2}$，则 $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0$.

其中正确命题的个数是（ ）

如图，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$H$ 分别是棱 $A_{1}B_{1}$，$D_{1}C_{1}$ 上的点（点 $E$ 与 $B_{1}$ 不重合），且 $EH\parallel A_{1}D_{1}$. 过 $EH$ 的平面与棱 $BB_{1}$，$CC_{1}$ 相交，交点分别为 $F$，$G$.

(1) 证明：$AD\parallel$ 平面 $EFGH$； (2) 设 $AB = 2AA_{1} = 2a$. 在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 内随机选取一点. 记该点取自几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 内的概率为 $p$，当点 $E$，$F$ 分别在棱 $A_{1}B_{1}$，$B_{1}B$ 上运动且满足 $EF = a$ 时，求 $p$ 的最小值.

某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西 $30^{\circ}$ 且与该港口相距 $20\text{ 海里}$ 的 $A$ 处，并以 $30\text{ 海里/小时}$ 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 $v\text{ 海里/小时}$ 的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 为保证小艇在 $30\text{ 分钟}$ 内（含 $30\text{ 分钟}$）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3) 是否存在 $v$，使得小艇以 $v\text{ 海里/小时}$ 的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 $v$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax + b$ 的图象在点 $P(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y = 3x - 2$.

(1) 求实数 $a$，$b$ 的值； (2) 设 $g(x) = f(x) + \frac{m}{x - 1}$ 是 $[2, +\infty)$ 上的增函数.

(i) 求实数 $m$ 的最大值； (ii) 当 $m$ 取最大值时，是否存在点 $Q$，使得过点 $Q$ 的直线若能与曲线 $y = g(x)$ 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.