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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣1⩽x⩽3}A = \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}，B={x∣x>2}B = \{x \mid x > 2\}，则 A∩BA \cap B 等于（ ）
A.
{x∣2<x⩽3}\{x \mid 2 < x \leqslant 3\}
B.
{x∣x⩾1}\{x\mid x\geqslant 1\}
C.
{x∣2⩽x<3}\{x\mid 2\leqslant x < 3\}
D.
{x∣x>2}\{x\mid x > 2\}

2010 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
计算 1−2sin⁡222.5∘1 - 2\sin^2 22.5^\circ 的结果等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2010 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
2
C.
232\sqrt{3}
D.
6

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04复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，(1+i1−i)4\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{4} 等于（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
1
D.
−1-1

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05不等式★★☆☆☆
若 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，且
{x⩾1,x−2y+3⩾0,y⩾x,\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - 2y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant x, \end{cases}
则 z=x+2yz = x + 2y 的最小值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
5
D.
9

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ii 值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2010 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数
f(x)={x2+2x−3,x⩽0,−2+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x \leqslant 0,\\ -2 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数为（ ）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0

2010 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
若向量 a=(x,3)\boldsymbol{a} = (x, 3) （x∈Rx \in \mathbf{R}），则 x=4x = 4 是 ∣a∣=5\lvert\boldsymbol{a}\rvert = 5 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

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09概率与统计★☆☆☆☆
若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
933，11，66，44，00，22
A.
91.5 和 91.5
B.
91.5 和 92
C.
91 和 91.5
D.
92 和 92

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10三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi) 的图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位，若所得图象与原图象重合，则 ω\omega 的值不可能等于（ ）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12

2010 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
若点 OO 和点 FF 分别为椭圆 x24+y23=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 的中心和左焦点，点 PP 为椭圆上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设非空集合 S={x∣m⩽x⩽l}S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\} 满足：当 x∈Sx \in S 时，有 x2∈Sx^2 \in S. 给出如下三个命题：
① 若 m=1m = 1，则 S={1}S = \{1\}； ② 若 m=−12m = -\frac{1}{2}，则 14⩽l⩽1\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1； ③ 若 l=12l = \frac{1}{2}，则 −22⩽m⩽0-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

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13解析几何★☆☆☆☆
若双曲线 x24−y2b2=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （b>0b > 0） 的渐近线方程为 y=±12xy = \pm \frac{1}{2}x，则 bb 等于______.

2010 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
将容量为 nn 的样本中的数据分成 6 组，绘制频率分布直方图. 若第一组至第六组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:12:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于 27，则 nn 等于______.

2010 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
对于平面上的点集 Ω\Omega，如果连接 Ω\Omega 中任意两点的线段必定包含于 Ω\Omega，则称 Ω\Omega 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中凸集的是______.（写出所有凸集相应图形的序号）

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16三角函数★★★☆☆
观察下列等式：
① cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1； ② cos⁡4α=8cos⁡4α−8cos⁡2α+1\cos 4\alpha=8\cos^{4}\alpha-8\cos^{2}\alpha+1； ③ cos⁡6α=32cos⁡6α−48cos⁡4α+18cos⁡2α−1\cos 6\alpha=32\cos^{6}\alpha-48\cos^{4}\alpha+18\cos^{2}\alpha-1； ④ cos⁡8α=128cos⁡8α−256cos⁡6α+160cos⁡4α−32cos⁡2α+1\cos 8\alpha=128\cos^{8}\alpha-256\cos^{6}\alpha+160\cos^{4}\alpha-32\cos^{2}\alpha+1； ⑤ cos⁡10α=mcos⁡10α−1280cos⁡8α+1120cos⁡6α+ncos⁡4α+pcos⁡2α−1\cos 10\alpha=m\cos^{10}\alpha-1280\cos^{8}\alpha+1120\cos^{6}\alpha+n\cos^{4}\alpha+p\cos^{2}\alpha-1. 可以推测，m−n+p=m-n+p=______.

2010 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中， a1=13a_{1}=\frac{1}{3}，前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn+1−Sn=(13)n+1S_{n+1}-S_{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} （n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 ana_{n} 以及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 S1S_{1}，t(S1+S2)t\left(S_{1}+S_{2}\right)，3(S2+S3)3\left(S_{2}+S_{3}\right) 成等差数列，求实数 tt 的值.

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18概率与统计★★★☆☆
设平面向量 am=(m,1)\boldsymbol{a}_{m} = (m,1)，bn=(2,n)\boldsymbol{b}_{n} = (2,n)，其中 mm，n∈{1,2,3,4}n \in \{1,2,3,4\}.
(1) 请列出有序数组 (m,n)\left(m,n\right) 的所有可能结果； (2) 记“使得 am⊥(am−bn)\boldsymbol{a}_{m} \perp \left(\boldsymbol{a}_{m}-\boldsymbol{b}_{n}\right) 成立”的 (m,n)\left(m,n\right) 为事件 AA，求事件 AA 发生的概率.

2010 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=2pxC: y^{2}=2px （p>0p>0）过点 A(1,−2)A\left(1,-2\right).
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其准线方程； (2) 是否存在平行于 OAOA（OO 为坐标原点）的直线 ll，使得直线 ll 与抛物线 CC 有公共点，且直线 OAOA 与 ll 的距离等于 55\frac{\sqrt{5}}{5}？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，说明理由.

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，HH 分别是棱 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上的点（点 EE 与 B1B_{1} 不重合），且 EH∥A1D1EH\parallel A_{1}D_{1}. 过 EHEH 的平面与棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 相交，交点分别为 FF，GG.
(1) 证明：AD∥AD\parallel 平面 EFGHEFGH； (2) 设 AB=2AA1=2aAB = 2AA_{1} = 2a. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 内随机选取一点. 记该点取自几何体 A1ABFE−D1DCGHA_{1}ABFE-D_{1}DCGH 内的概率为 pp，当点 EE，FF 分别在棱 A1B1A_{1}B_{1}，B1BB_{1}B 上运动且满足 EF=aEF = a 时，求 pp 的最小值.

2010 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 tt 小时与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 为保证小艇在 30 分钟30\text{ 分钟} 内（含 30 分钟30\text{ 分钟}）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3) 是否存在 vv，使得小艇以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 vv 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−x2+ax+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax + b 的图象在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=3x−2y = 3x - 2.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 设 g(x)=f(x)+mx−1g(x) = f(x) + \frac{m}{x - 1} 是 [2,+∞)[2, +\infty) 上的增函数.
(i) 求实数 mm 的最大值； (ii) 当 mm 取最大值时，是否存在点 QQ，使得过点 QQ 的直线若能与曲线 y=g(x)y = g(x) 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 QQ 的坐标；若不存在，说明理由.

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