已知：两条异面直线 $a$，$b$ 所成的角为 $\theta$，它们的公垂线段 $AA_1$ 的长度为 $d$. 在直线 $a$，$b$ 上分别取点 $E$，$F$，设 $A_1E=m$，$AF=n$. 求证：$EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos\theta}$.

\begin{solution} 由线段 $A_1E$ 和 $AF$ 分别沿两直线，取向量分解 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{A_1E}$. 因为 $AA_1$ 是两直线的公垂线段，$\overrightarrow{A_1A}$ 同时垂直于 $\overrightarrow{A_1E}$ 和 $\overrightarrow{AF}$，且 $|\overrightarrow{A_1A}|=d$，$|\overrightarrow{A_1E}|=m$，$|\overrightarrow{AF}|=n$. 所以 $EF^2=d^2+m^2+n^2-2\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}$. 两直线所成角为 $\theta$，而两条有向射线的夹角可能为 $\theta$ 或 $\pi-\theta$，故 $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}=\pm mn\cos\theta$. 于是 $EF^2=d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta$，从而 $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta}$. \end{solution}

设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 已知 $a_3=12$，$S_{12}>0$，$S_{13}<0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围； (2) 指出 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由.

\begin{solution} 由 $a_3=12$，得 $a_1=12-2d$. 因而 $S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr)=6(24+7d)>0$，所以 $d>-\frac{24}{7}$；又 $S_{13}=\frac{13}{2}\bigl(2a_1+12d\bigr)=13(12+4d)<0$，所以 $d<-3$. 综合得 $d\in\left(-\frac{24}{7},-3\right)$.

$a_n=12+(n-3)d$. 因为 $d>-\frac{24}{7}$，有 $a_6=12+3d>\frac{12}{7}>0$；因为 $d<-3$，有 $a_7=12+4d<0$. 所以 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 在 $n=2$，$\ldots$，$6$ 时为正，在 $n=7$，$\ldots$，$12$ 时为负，故 $S_1$，$S_2$，$\ldots$，$S_{12}$ 先增后减，最大值为 $S_6$. \end{solution}

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$，$B$ 是椭圆上的两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P(x_0,0)$. 证明：$-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$.

\begin{solution} 设 $A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$. 若 $x_1=x_2$，则由椭圆方程可知两个不同点只能关于 $x$ 轴对称，此时 $AB$ 的垂直平分线就是 $x$ 轴，不会与其交于唯一的点 $P$，故 $x_1\neq x_2$. 由两点在椭圆上，得 $y_i^2=b^2\left(1-\frac{x_i^2}{a^2}\right)$，从而 $x_i^2+y_i^2=b^2+\frac{a^2-b^2}{a^2}x_i^2$，（$i=1,2$）.

点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，所以 $PA=PB$. 平方并消去 $x_0^2$，得 $2x_0(x_2-x_1)=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}(x_2-x_1)(x_2+x_1)$. 因为 $x_1\neq x_2$，所以 $x_0=\frac{a^2-b^2}{2a^2}(x_1+x_2)$.

又由椭圆方程 $|x_1|\leqslant a$，$|x_2|\leqslant a$，所以 $|x_1+x_2|\leqslant2a$，进而 $|x_0|\leqslant\frac{a^2-b^2}{a}$. 若取等号，则必须有 $x_1=x_2=a$ 或 $x_1=x_2=-a$，此时 $A=B$，与两点为不同点矛盾. 因此严格成立，即 $-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$. \end{solution}