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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡89log⁡23\frac{\log_8 9}{\log_2 3} 的值是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由换底公式，且 log⁡23≠0\log_2 3\neq0，有 log⁡89=log⁡29log⁡28=2log⁡233\log_8 9=\frac{\log_2 9}{\log_2 8}=\frac{2\log_2 3}{3}. 因而 log⁡89log⁡23=23\frac{\log_8 9}{\log_2 3}=\frac{2}{3}，对应选项 A. \end{solution}
A.
23\frac{2}{3}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

1992 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
如果函数 y=sin⁡(ωx)cos⁡(ωx)y=\sin(\omega x)\cos(\omega x) 的最小正周期是 4π4\pi，那么常数 ω\omega 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由二倍角公式，sin⁡(ωx)cos⁡(ωx)=12sin⁡(2ωx)\sin(\omega x)\cos(\omega x)=\frac{1}{2}\sin(2\omega x). 当 ω≠0\omega\neq0 时，sin⁡(2ωx)\sin(2\omega x) 的最小正周期为 2π∣2ω∣=π∣ω∣\frac{2\pi}{|2\omega|}=\frac{\pi}{|\omega|}. 因此 π∣ω∣=4π\frac{\pi}{|\omega|}=4\pi，得 ∣ω∣=14|\omega|=\frac{1}{4}. 按选项中的通常约定取正的参数值，ω=14\omega=\frac{1}{4}，故选 D. \end{solution}
A.
44
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

1992 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
极坐标方程分别是 ρ=cos⁡θ\rho=\cos\theta 和 ρ=sin⁡θ\rho=\sin\theta 的两个圆的圆心距是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta、y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta 及 ρ2=x2+y2\rho^2=x^2+y^2，方程 ρ=cos⁡θ\rho=\cos\theta 可化为 x2+y2=ρ2=ρcos⁡θ=xx^2+y^2=\rho^2=\rho\cos\theta=x，即 (x−12)2+y2=14\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}. 它的圆心为 (12,0)\left(\frac{1}{2},0\right).
同理，方程 ρ=sin⁡θ\rho=\sin\theta 化为 x2+y2=yx^2+y^2=y，即 x2+(y−12)2=14x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}，圆心为 (0,12)\left(0,\frac{1}{2}\right). 所以圆心距为 (12)2+(−12)2=22\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}，故选 D. \end{solution}
A.
22
B.
2\sqrt{2}
C.
11
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

1992 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
sin⁡4xcos⁡5x=−cos⁡4xsin⁡5x\sin 4x\cos 5x=-\cos 4x\sin 5x 的一个解是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将右边移到左边，并用正弦加法公式，得 sin⁡4xcos⁡5x+cos⁡4xsin⁡5x=sin⁡(4x+5x)=sin⁡9x=0\sin4x\cos5x+\cos4x\sin5x=\sin(4x+5x)=\sin9x=0. 因而 9x=180∘k9x=180^{\circ}k，即 x=20∘kx=20^{\circ}k，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 四个选项中只有 20∘20^{\circ} 对应整数 k=1k=1，故选 B. \end{solution}
A.
10∘10^{\circ}
B.
20∘20^{\circ}
C.
50∘50^{\circ}
D.
70∘70^{\circ}

1992 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05★☆☆☆☆
已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设圆柱底面半径为 rr，高为 hh. 圆柱的轴截面是长为 hh、宽为 2r2r 的矩形，所以正方形条件给出 h=2rh=2r. 又因为圆柱的高等于球的直径，球半径为 R=h2=rR=\frac h2=r.
圆柱的全面积为 2πr2+2πrh=2πr2+4πr2=6πr22\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2，球的表面积为 4πR2=4πr24\pi R^2=4\pi r^2. 因而所求比为 6πr2:4πr2=3:26\pi r^2:4\pi r^2=3:2，故选 D. \end{solution}
A.
6:56:5
B.
5:45:4
C.
4:34:3
D.
3:23:2

1992 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
如图，图中曲线是幂函数 y=xny=x^n 在第一象限的图象. 已知 nn 取 ±2\pm 2，±12\pm \frac{1}{2} 四个值，则相应于曲线 C1C_1，C2C_2，C3C_3，C4C_4 的 nn 依次为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 四条曲线都经过 (1,1)(1,1). 取图中 x>1x>1 的部分，则 x2>x12>x−12>x−2x^2>x^{\frac{1}{2}}>x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}. 因此从上到下，曲线依次对应指数 22、12\frac12、−12-\frac12、−2-2. 这与图中的 C1C_1，C2C_2，C3C_3，C4C_4 依次相符，故选 B. \end{solution}
A.
−2,−12,12,2-2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2
B.
22，12\frac{1}{2}，−12-\frac{1}{2}，−2-2
C.
−12-\frac{1}{2}，−2-2，22，12\frac{1}{2}
D.
22，12\frac{1}{2}，−2-2，−12-\frac{1}{2}

1992 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 log⁡a2<log⁡b2<0\log_a 2<\log_b 2<0，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求底数为正且不等于 11. 因为 log⁡a2<0\log_a2<0、log⁡b2<0\log_b2<0，而 ln⁡2>0\ln2>0，所以 ln⁡a<0\ln a<0、ln⁡b<0\ln b<0，从而 0<a<10<a<1、0<b<10<b<1.
令 A=−ln⁡a>0A=-\ln a>0、B=−ln⁡b>0B=-\ln b>0，则 log⁡a2=−ln⁡2A\log_a2=-\frac{\ln2}{A}、log⁡b2=−ln⁡2B\log_b2=-\frac{\ln2}{B}. 由题设不等式，除以负数 −ln⁡2-\ln2 时不等号反向，得到 1A>1B\frac1A>\frac1B，所以 A<BA<B. 这等价于 ln⁡a>ln⁡b\ln a>\ln b，即 a>ba>b. 因而 0<b<a<10<b<a<1，故选 B. \end{solution}
A.
0<a<b<10<a<b<1
B.
0<b<a<10<b<a<1
C.
a>b>1a>b>1
D.
b>a>1b>a>1

1992 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
直线
{x=t⋅sin⁡20∘+3,y=−t⋅cos⁡20∘\begin{cases} x=t\cdot \sin 20^{\circ}+3,\\ y=-t\cdot \cos 20^{\circ} \end{cases}
（tt 为参数）的倾斜角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 参数方程给出的方向向量为 (sin⁡20∘,−cos⁡20∘)\left(\sin20^{\circ},-\cos20^{\circ}\right)，所以直线斜率为 −cos⁡20∘sin⁡20∘=−cot⁡20∘=tan⁡110∘\frac{-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=-\cot20^{\circ}=\tan110^{\circ}. 由于倾斜角取 [0∘,180∘)[0^{\circ},180^{\circ}) 内的角，故倾斜角为 110∘110^{\circ}，选 C. \end{solution}
A.
20∘20^{\circ}
B.
70∘70^{\circ}
C.
110∘110^{\circ}
D.
160∘160^{\circ}

1992 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 四棱锥只有四个侧面，所以直角三角形的个数不可能超过 44. 下面验证上界可以达到：取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)、B=(1,0,0)B=(1,0,0)、C=(1,1,0)C=(1,1,0)、D=(0,1,0)D=(0,1,0)，并取顶点 S=(0,0,h)S=(0,0,h)，其中 h>0h>0. 则 AS→⋅AB→=0\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=0、AS→⋅AD→=0\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AD}=0，所以侧面 SABSAB、SADSAD 都是直角三角形；又 BS→=(−1,0,h)\overrightarrow{BS}=(-1,0,h)、BC→=(0,1,0)\overrightarrow{BC}=(0,1,0)，以及 DS→=(0,−1,h)\overrightarrow{DS}=(0,-1,h)、DC→=(1,0,0)\overrightarrow{DC}=(1,0,0)，两组内积都为零，所以侧面 SBCSBC、SCDSCD 也都是直角三角形. 因而最大个数为 44，故选 D. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

1992 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
圆心在抛物线 y2=2xy^2=2x 上，且与 xx 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设圆心为 (u,v)(u,v)，半径为 rr. 由圆心在 y2=2xy^2=2x 上，得 v2=2uv^2=2u，即 u=v22⩾0u=\frac{v^2}{2}\geqslant0. 该抛物线的准线为 x=−12x=-\frac12. 圆与 xx 轴相切，故 r=∣v∣r=|v|；圆与准线相切，故 r=∣u+12∣=u+12r=\left|u+\frac12\right|=u+\frac12. 于是 ∣v∣=v22+12|v|=\frac{v^2}{2}+\frac12. 令 s=∣v∣s=|v|，则 s=s22+12s=\frac{s^2}{2}+\frac12，即 (s−1)2=0(s-1)^2=0，所以 s=1s=1、u=12u=\frac12、r=1r=1.
因此圆心可能为 (12,1)\left(\frac12,1\right) 或 (12,−1)\left(\frac12,-1\right). 前者的方程为 (x−12)2+(y−1)2=1\left(x-\frac12\right)^2+(y-1)^2=1，化为 x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac14=0，正是选项 D；后者关于 xx 轴对称且不在给出的选项中. 故选 D. \end{solution}
A.
x2+y2−x−2y−14=0x^2+y^2-x-2y-\frac{1}{4}=0
B.
x2+y2+x−2y+1=0x^2+y^2+x-2y+1=0
C.
x2+y2−x−2y+1=0x^2+y^2-x-2y+1=0
D.
x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0

1992 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x2+3x+2)5(x^2+3x+2)^5 的展开式中 xx 的系数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 把 (x2+3x+2)5(x^2+3x+2)^5 看成五个相同因式的乘积. 要得到一次项 xx，每个因式至多取一次一次项，且不能取 x2x^2；因此必须从五个因式中选一个取 3x3x，其余四个因式都取常数项 22. 所以 xx 的系数为 C51⋅3⋅24=240\mathrm C_5^1\cdot3\cdot2^4=240，故选 B. \end{solution}
A.
160160
B.
240240
C.
360360
D.
800800

1992 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★☆☆☆
若 0<a<10<a<1，在 [0,2π][0,2\pi] 上满足 sin⁡x⩾a\sin x\geqslant a 的 xx 的范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 令 α=arcsin⁡a\alpha=\arcsin a. 因为 0<a<10<a<1，所以 0<α<π20<\alpha<\frac\pi2，且在 [0,π][0,\pi] 上有 sin⁡α=a\sin\alpha=a、sin⁡(π−α)=a\sin(\pi-\alpha)=a. 正弦函数在 [0,π][0,\pi] 上先增后减，故 sin⁡x⩾a\sin x\geqslant a 等价于 α⩽x⩽π−α\alpha\leqslant x\leqslant\pi-\alpha. 在 [π,2π][\pi,2\pi] 上 sin⁡x⩽0<a\sin x\leqslant0<a，没有新的解. 因而 x∈[arcsin⁡a,π−arcsin⁡a]x\in[\arcsin a,\pi-\arcsin a]，故选 B. \end{solution}
A.
[0,arcsin⁡a][0,\arcsin a]
B.
[arcsin⁡a,π−arcsin⁡a][\arcsin a,\pi-\arcsin a]
C.
[π−arcsin⁡a,π][\pi-\arcsin a,\pi]
D.
[arcsin⁡a,π2+arcsin⁡a]\left[\arcsin a,\frac{\pi}{2}+\arcsin a\right]

1992 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
已知直线 l1l_1 和 l2l_2 夹角的平分线为 y=xy=x，如果 l1l_1 的方程是 ax+by+c=0ax+by+c=0（ab>0ab>0），那么 l2l_2 的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 对称会交换坐标 xx，yy. 因而直线 l1:ax+by+c=0l_1:ax+by+c=0 的对称直线为 l2:ay+bx+c=0l_2:ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0bx+ay+c=0. 这两条直线关于 y=xy=x 对称，所以 y=xy=x 是它们的一条夹角平分线.
也可直接验证：两直线的法向量长度同为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，而点到两直线的距离相等时满足 ∣ax+by+c∣=∣bx+ay+c∣\left|ax+by+c\right|=\left|bx+ay+c\right|. 其中一个等距轨迹分支给出 (a−b)(x−y)=0(a-b)(x-y)=0. 两直线不重合时 a≠ba\neq b，故该分支即为 y=xy=x. 因此选项 A 正确，故选 A. \end{solution}
A.
bx+ay+c=0bx+ay+c=0
B.
ax−by+c=0ax-by+c=0
C.
bx+ay−c=0bx+ay-c=0
D.
bx−ay+c=0bx-ay+c=0

1992 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 和 NN 分别为 A1B1A_1B_1 和 BB1BB_1 的中点，那么直线 AMAM 与 CNCN 所成角的余弦值是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)、B=(1,0,0)B=(1,0,0)、C=(1,1,0)C=(1,1,0)、A1=(0,0,1)A_1=(0,0,1). 因为 MM，NN 分别为中点，所以 M=(12,0,1)M=\left(\frac12,0,1\right)、N=(1,0,12)N=\left(1,0,\frac12\right). 于是 AM→=(12,0,1)\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,1\right)、CN→=(0,−1,12)\overrightarrow{CN}=\left(0,-1,\frac12\right).
两向量的内积为 AM→⋅CN→=12\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac12，且 ∣AM→∣=∣CN→∣=14+1=52\lvert\overrightarrow{AM}\rvert=\lvert\overrightarrow{CN}\rvert=\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}{2}. 因此两直线所成锐角的余弦为 ∣AM→⋅CN→∣∣AM→∣∣CN→∣=1254=25\frac{\left|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}\right|}{\lvert\overrightarrow{AM}\rvert\lvert\overrightarrow{CN}\rvert}=\frac{\frac12}{\frac54}=\frac25，故选 D. \end{solution}
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
1010\frac{\sqrt{10}}{10}
C.
35\frac{3}{5}
D.
25\frac{2}{5}

1992 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15复数★★☆☆☆
已知复数 zz 的模为 22，则 ∣z−i∣|z-\mathrm{i}| 的最大值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由三角不等式，∣z−i∣=∣z+(−i)∣⩽∣z∣+∣i∣=2+1=3|z-\mathrm{i}|=|z+(-\mathrm{i})|\leqslant|z|+|\mathrm{i}|=2+1=3. 还需验证等号可以取得：取 z=−2iz=-2\mathrm{i}，则 ∣z∣=2|z|=2，且 zz 与 −i-\mathrm{i} 同向，所以 ∣z−i∣=∣−3i∣=3|z-\mathrm{i}|=|-3\mathrm{i}|=3. 因而最大值为 33，故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
5\sqrt{5}
D.
33

1992 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=ex−e−x2y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} 的反函数（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 令 f(x)=ex−e−x2f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2. 有 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，所以 ff 是奇函数；又 f′(x)=ex+e−x2>0f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}2>0，所以 ff 在 R\mathbf{R} 上严格递增. 同时 f(x)f(x) 在 x→+∞x\to+\infty 时趋于 +∞+\infty，在 x→−∞x\to-\infty 时趋于 −∞-\infty，故它的值域为 R\mathbf{R}，反函数存在.
设反函数为 g=f−1g=f^{-1}. 由 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，对任意 yy 有 g(−y)=−g(y)g(-y)=-g(y)，所以 gg 是奇函数；严格递增函数的反函数仍严格递增，因此 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，故选 C. \end{solution}
A.
是奇函数，它在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是减函数
B.
是偶函数，它在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是减函数
C.
是奇函数，它在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数
D.
是偶函数，它在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数

1992 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★☆☆☆
如果函数 f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c 对任意实数 tt 都有 f(2+t)=f(2−t)f(2+t)=f(2-t)，那么（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 展开两边，得 f(2+t)=t2+(4+b)t+(4+2b+c)f(2+t)=t^2+(4+b)t+(4+2b+c)， f(2−t)=t2−(4+b)t+(4+2b+c)f(2-t)=t^2-(4+b)t+(4+2b+c). 题设要求它们对任意实数 tt 相等，所以一次项系数必须相等，4+b=−(4+b)4+b=-(4+b)，从而 b=−4b=-4. 因此 f(x)=x2−4x+c=(x−2)2+cf(x)=x^2-4x+c=(x-2)^2+c.
于是 f(2)=cf(2)=c、f(1)=c+1f(1)=c+1、f(4)=c+4f(4)=c+4，所以 f(2)<f(1)<f(4)f(2)<f(1)<f(4)，故选 A. \end{solution}
A.
f(2)<f(1)<f(4)f(2)<f(1)<f(4)
B.
f(1)<f(2)<f(4)f(1)<f(2)<f(4)
C.
f(2)<f(4)<f(1)f(2)<f(4)<f(1)
D.
f(4)<f(2)<f(1)f(4)<f(2)<f(1)

1992 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18立体几何初步★★☆☆☆
长方体的全面积为 1111，1212 条棱长度之和为 2424，则这个长方体的一条对角线长为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设长方体的三条棱长为 aa，bb，c>0c>0. 全面积为 2(ab+bc+ca)=112(ab+bc+ca)=11，所以 ab+bc+ca=112ab+bc+ca=\frac{11}{2}. 由于每种棱长各有四条，1212 条棱长度之和给出 4(a+b+c)=244(a+b+c)=24，即 a+b+c=6a+b+c=6.
长方体的空间对角线 ll 满足 l2=a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=62−2⋅112=25l^2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=6^2-2\cdot\frac{11}{2}=25. 因为 l>0l>0，所以 l=5l=5，故选 C. \end{solution}
A.
232\sqrt{3}
B.
14\sqrt{14}
C.
55
D.
66

1992 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 1+3−x1+3x=3\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3 的解是______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 令 t=3x>0t=3^x>0，则 3−x=1t3^{-x}=\frac{1}{t}，原方程化为 1+1t1+t=1t=3\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=\frac{1}{t}=3. 所以 t=13=3−1t=\frac{1}{3}=3^{-1}，从而 x=−1x=-1. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20三角函数★★☆☆☆
sin⁡15∘sin⁡75∘\sin 15^{\circ}\sin 75^{\circ} 的值是______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}
\begin{solution} 由积化和差公式，sin⁡15∘sin⁡75∘=12(cos⁡60∘−cos⁡90∘)=12(12−0)=14\sin15^{\circ}\sin75^{\circ}=\frac{1}{2}\bigl(\cos60^{\circ}-\cos90^{\circ}\bigr)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{4}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21计数原理与组合数学★★☆☆☆
设含有 1010 个元素的集合的全部子集数为 SS，其中由 33 个元素组成的子集数为 TT，则 TS\frac{T}{S} 的值为______.
\begin{answer} 15128\frac{15}{128} \end{answer}
\begin{solution} 含有 1010 个元素的集合的每个元素都有“选入”或“不选入”两种情况，所以全部子集数为 S=210S=2^{10}. 其中恰含 33 个元素的子集数为 T=C103=10⋅9⋅83⋅2⋅1=120T=\mathrm C_{10}^{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120. 因而 TS=120210=15128\frac{T}{S}=\frac{120}{2^{10}}=\frac{15}{128}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 填空题

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22解析几何★★☆☆☆
焦点为 F1(−2,0)F_1(-2,0) 和 F2(6,0)F_2(6,0)，离心率为 22 的双曲线的方程是______.
\begin{answer} (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1 \end{answer}
\begin{solution} 两焦点的中点为 (2,0)(2,0)，焦半距为 c=4c=4. 由离心率 e=ca=2e=\frac{c}{a}=2，得 a=2a=2. 双曲线满足 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 b2=16−4=12b^2=16-4=12. 由于焦点在 xx 轴上，方程为 (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 填空题

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23数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差 d≠0d\neq 0，且 a1a_1，a3a_3，a9a_9 成等比数列，则 a1+a3+a9a2+a4+a10\frac{a_1+a_3+a_9}{a_2+a_4+a_{10}} 的值是______.
\begin{answer} 1316\frac{13}{16} \end{answer}
\begin{solution} 设 a1=aa_1=a，则 a3=a+2da_3=a+2d，a9=a+8da_9=a+8d. 三项成等比数列，所以 (a+2d)2=a(a+8d)(a+2d)^2=a(a+8d)，化简得 4d(d−a)=04d(d-a)=0. 因为 d≠0d\neq0，故 a=da=d，从而 an=nda_n=nd. 因此 a1+a3+a9a2+a4+a10=(1+3+9)d(2+4+10)d=1316\frac{a_1+a_3+a_9}{a_2+a_4+a_{10}}=\frac{(1+3+9)d}{(2+4+10)d}=\frac{13}{16}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 填空题

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24复数★★☆☆☆
已知 z∈Cz\in \mathbf{C}，解方程：zzˉ−3izˉ=1+3iz\bar{z}-3\mathrm{i}\bar{z}=1+3\mathrm{i}.
\begin{solution} 设 z=x+yiz=x+y\mathrm{i}，则 zˉ=x−yi\bar z=x-y\mathrm{i}，且 zzˉ=x2+y2z\bar z=x^2+y^2. 代入方程并整理实部、虚部，得 x2+y2−3y−3xi=1+3ix^2+y^2-3y-3x\mathrm{i}=1+3\mathrm{i}. 比较虚部得 −3x=3-3x=3，所以 x=−1x=-1；比较实部得 1+y2−3y=11+y^2-3y=1，即 y(y−3)=0y(y-3)=0. 因而 y=0y=0 或 y=3y=3，解为 z=−1z=-1 或 z=−1+3iz=-1+3\mathrm{i}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25三角函数★★★☆☆
已知 π2<β<α<3π4\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{4}，cos⁡(α−β)=1213\cos(\alpha-\beta)=\frac{12}{13}，sin⁡(α+β)=−35\sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}. 求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值.
\begin{solution} 令 δ=α−β\delta=\alpha-\beta，则 0<δ<π40<\delta<\frac{\pi}{4}，所以 sin⁡δ=513\sin\delta=\frac{5}{13}. 又 π<α+β<3π2\pi<\alpha+\beta<\frac{3\pi}{2}，且 sin⁡(α+β)=−35\sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}，故 cos⁡(α+β)=−45\cos(\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}. 于是 sin⁡2α=sin⁡((α+β)+(α−β))=sin⁡(α+β)cos⁡δ+cos⁡(α+β)sin⁡δ=−35⋅1213−45⋅513=−5665\sin2\alpha=\sin\bigl((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\bigr)=\sin(\alpha+\beta)\cos\delta+\cos(\alpha+\beta)\sin\delta= -\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}-\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}=-\frac{56}{65}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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