设 $10 \leqslant x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} \leqslant 10^{4}$，$x_{5} = 10^{5}$. 随机变量 $\xi_{1}$ 取值 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，$x_{5}$ 的概率均为 0.2. 随机变量 $\xi_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$，$\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$，$\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$，$\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$，$\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为 0.2. 若记 $D(\xi_{1})$，$D(\xi_{2})$ 分别为 $\xi_{1}$，$\xi_{2}$ 的方差，则（ ）

设 $a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}$，$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$. 在 $S_{1}$，$S_{2}$，$\cdots$，$S_{100}$ 中，正数的个数是（ ）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C_1: 2x^2 - y^2 = 1$.

(1) 过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积； (2) 设斜率为 1 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$，$Q$ 两点. 若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切. 求证： $OP \perp OQ$； (3) 设椭圆 $C_{2}: 4x^{2} + y^{2} = 1$. 若 $M$，$N$ 分别是 $C_{1}$，$C_{2}$ 上的动点，且 $OM \perp ON$，求证：$O$ 到直线 $MN$ 的距离是定值.