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01复数★☆☆☆☆
计算： 3−i1+i=\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=______（i\mathrm{i} 为虚数单位）.

2012 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 A={x∣2x+1>0}A = \{x \mid 2x + 1 > 0\}，B={x∣∣x−1∣<2}B = \{x \mid |x - 1| < 2\}，则 A∩B=A \cap B =______.

2012 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★★☆☆☆
函数
f(x)=∣2cos⁡xsin⁡x−1∣f(x) = \left| \begin{matrix} 2 & \cos x \\ \sin x & -1 \end{matrix} \right|
的值域是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★★☆☆☆
若 n=(−2,1)\boldsymbol{n} = (-2,1) 是直线 ll 的一个法向量，则 ll 的倾斜角的大小为______. （结果用反三角函数值表示）

2012 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)6\left(x - \frac{2}{x}\right)^6 的二项展开式中，常数项等于______.

2012 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
有一列正方体，棱长组成以 1 为首项，12\frac{1}{2} 为公比的等比数列，体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，⋯\cdots，VnV_{n}，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞(V1+V2+⋯+Vn)=‾\displaystyle\lim_{n \to \infty} (V_{1} + V_{2} + \cdots + V_{n}) =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=e∣x−a∣f(x) = \mathrm{e}^{|x - a|} （aa 为常数）. 若 f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是增函数，则 aa 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π2\pi 的半圆面，则该圆锥的体积为______.

2012 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知 y=f(x)+x2y = f(x) + x^2 是奇函数，且 f(1)=1f(1) = 1. 若 g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2，则 g(−1)=g(-1) =______.

2012 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系中，过点 M(2,0)M(2,0) 的直线 ll 与极轴的夹角 α=π6\alpha = \frac{\pi}{6}. 若将 ll 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)\rho = f(\theta) 的形式，则 f(θ)=‾f(\theta) =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★★☆☆
三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______. （结果用最简分数表示）

2012 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，∠A=π3\angle A = \frac{\pi}{3}，边 ABAB，ADAD 的长分别为 22，11. 若 MM，NN 分别是边 BCBC，CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 A(0,0)A(0,0)，B(12,5)B\left(\frac{1}{2}, 5\right)，C(1,0)C(1,0). 函数 y=xf(x)y = xf(x)（0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1）的图象与 xx 轴围成的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★★
如图，ADAD 与 BCBC 是四面体 ABCDABCD 中互相垂直的棱，BC=2BC = 2. 若 AD=2cAD = 2c，且 AB+BD=AC+CD=2aAB + BD = AC + CD = 2a，其中 aa，cc 为常数，则四面体 ABCDABCD 的体积的最大值是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}i 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2b = 2，c=3c = 3
B.
b=−2b = -2，c=3c = 3
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=2b = 2，c=−1c = -1

2012 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^2 A + \sin^2 B < \sin^2 C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17概率与统计★★★★☆
设 10⩽x1<x2<x3<x4⩽10410 \leqslant x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} \leqslant 10^{4}，x5=105x_{5} = 10^{5}. 随机变量 ξ1\xi_{1} 取值 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4}，x5x_{5} 的概率均为 0.2. 随机变量 ξ2\xi_{2} 取值 x1+x22\frac{x_{1} + x_{2}}{2}，x2+x32\frac{x_{2} + x_{3}}{2}，x3+x42\frac{x_{3} + x_{4}}{2}，x4+x52\frac{x_{4} + x_{5}}{2}，x5+x12\frac{x_{5} + x_{1}}{2} 的概率也均为 0.2. 若记 D(ξ1)D(\xi_{1})，D(ξ2)D(\xi_{2}) 分别为 ξ1\xi_{1}，ξ2\xi_{2} 的方差，则（ ）
A.
D(ξ1)>D(ξ2)D(\xi_{1}) > D(\xi_{2})
B.
D(ξ1)=D(ξ2)D(\xi_{1}) = D(\xi_{2})
C.
D(ξ1)<D(ξ2)D(\xi_{1}) < D(\xi_{2})
D.
D(ξ1)D(\xi_{1}) 与 D(ξ2)D(\xi_{2}) 的大小关系与 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4} 的取值有关

2012 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 an=1nsin⁡nπ25a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}. 在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
25
B.
50
C.
75
D.
100

2012 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，EE 是 PCPC 的中点. 已知 AB=2AB = 2，AD=22AD = 2\sqrt{2}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三角形 PCDPCD 的面积； (2) 异面直线 BCBC 与 AEAE 所成角的大小.

2012 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1, 2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^2； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C1:2x2−y2=1C_1: 2x^2 - y^2 = 1.
(1) 过 C1C_{1} 的左顶点引 C1C_{1} 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 xx 轴围成的三角形的面积； (2) 设斜率为 1 的直线 ll 交 C1C_{1} 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切. 求证： OP⊥OQOP \perp OQ； (3) 设椭圆 C2:4x2+y2=1C_{2}: 4x^{2} + y^{2} = 1. 若 MM，NN 分别是 C1C_{1}，C2C_{2} 上的动点，且 OM⊥ONOM \perp ON，求证：OO 到直线 MNMN 的距离是定值.

2012 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23平面向量★★★★★
对于数集 X={−1,x1,x2,⋯ ,xn}X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}，其中 0<x1<x2<⋯<xn0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n，n⩾2n \geqslant 2，定义向量集 Y={a∣a=(s,t),s∈X,t∈X}Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}. 若对任意 a1∈Y\boldsymbol{a}_1 \in Y，存在 a2∈Y\boldsymbol{a}_2 \in Y，使得 a1⋅a2=0\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0，则称 XX 具有性质 PP. 例如 {−1,1,2}\{-1, 1, 2\} 具有性质 PP.
(1) 若 x>2x > 2，且 {−1,1,2,x}\{-1, 1, 2, x\} 具有性质 PP，求 xx 的值； (2) 若 XX 具有性质 PP，求证： 1∈X1 \in X，且当 xn>1x_n > 1 时，x1=1x_1 = 1； (3) 若 XX 具有性质 PP，且 x1=1x_{1} = 1，x2=qx_{2} = q （qq 为常数），求有穷数列 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的通项公式.

2012 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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