在平面直角坐标系中，如果 $x$ 与 $y$ 都是整数，就称点 $(x, y)$ 为整点，下列命题中正确的是______. （写出所有正确命题的编号）

① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果 $k$ 与 $b$ 都是无理数，则直线 $y = kx + b$ 不经过任何整点； ③ 直线 $l$ 经过无穷多个整点，当且仅当 $l$ 经过两个不同的整点； ④ 直线 $y = kx + b$ 经过无穷多个整点的充分必要条件是：$k$ 与 $b$ 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线.

设 $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{1 + ax^2}$，其中 $a$ 为正实数.

(1) 当 $a=\frac{4}{3}$ 时，求 $f(x)$ 的极值点； (2) 若 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围.

在数 $1$ 和 $100$ 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$，再令 $a_{n} = \lg T_{n}$，$n \geqslant 1$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

(1) 设 $x \geqslant 1$，$y \geqslant 1$，证明 $x + y + \frac{1}{xy} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy$； (2) $1 < a \leqslant b \leqslant c$，证明 $\log_{a} b + \log_{b} c + \log_{c} a \leqslant \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c$.

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 $10$ 分钟，如果前一个人 $10$ 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲，乙，丙三个人可派. 他们各自能完成任务的概率分别 $p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$. 假设 $p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$ 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 $q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$，其中 $q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$ 是 $p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$ 的一个排列. 求所需派出人员数目 $X$ 的分布列和均值（数学期望）$E(X)$； (3) 假定 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{3}$，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.